《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　已知函数$f(x)=ae^{x}\ln x,g(x)=x^{2}+x\ln a$，若$g(x)\gt f(x),x\in(0,1)$恒成立，求$a$的取值范围。

答案： 解　由$x^{2}+x\ln a＞ae^{x}\ln x$，得$x(x+\ln a)＞ae^{x}\ln x$，即$\frac{x+\ln a}{ae^{x}}＞\frac{\ln x}{x}$，即$\frac{x+\ln a}{e^{x+\ln a}}＞\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln x}{e^{\ln x}}$。设$h(x)=\frac{x}{e^{x}}$，则$h(x+\ln a)＞h(\ln x)$，$h^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$，若$x\in(-\infty,1)$，则$h^{\prime}(x)＞0$，$h(x)$单调递增；若$x\in(1,+\infty)$，则$h^{\prime}(x)＜0$，$h(x)$单调递减。当$x+\ln a＞0$时，$h(x+\ln a)＞0$，又$h(\ln x)＜0(0＜x＜1)$，所以$h(x+\ln a)＞h(\ln x)$恒成立。当$x+\ln a\leq0$时，由$h(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，且$h(x+\ln a)＞h(\ln x)$，得$x+\ln a＞\ln x$，$\ln a＞\ln x - x$，又$\ln x＜x - 1$，$\ln x - x＜-1$，所以$\ln a\geq - 1$，即$a\geq\frac{1}{e}$，所以$a$的取值范围为$[\frac{1}{e},+\infty)$。

[例4]　若实数$\lambda\in R$，不等式$\frac{\lambda x+\lambda xe^{\lambda x}}{x + 1}\gt\ln x$在$(1,+\infty)$上恒成立，则$\lambda$的取值范围是________。

答案： $(\frac{1}{e},+\infty)$　解析　若$\lambda\leq0$，则$\frac{(e^{\lambda x}+1)\lambda x}{x + 1}\leq0$，$\ln x＞0$，不等式显然不成立。若$\lambda＞0$，由题意，得$\lambda x + \lambda xe^{\lambda x}＞(x + 1)\cdot\ln x=(e^{\ln x}+1)\ln x=\ln x\cdot e^{\ln x}+\ln x$，设$f(x)=xe^{x}+x$，当$x＞0$时，$f^{\prime}(x)=(x + 1)e^{x}+1＞0$，所以$f(x)=xe^{x}+x$在$(0,+\infty)$上单调递增，由$f(\lambda x)＞f(\ln x)$，且$\lambda x＞0$，$\ln x＞0$，得$\lambda x＞\ln x$，即$\lambda＞\frac{\ln x}{x}$，设$g(x)=\frac{\ln x}{x}$，则$g^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，当$1＜x＜e$时，$g^{\prime}(x)＞0$，$g(x)$单调递增；当$x＞e$时，$g^{\prime}(x)＜0$，$g(x)$单调递减。所以在$(1,+\infty)$上$g(x)_{\max}=g(e)=\frac{1}{e}$，所以$\lambda＞\frac{1}{e}$。$\lambda$的取值范围是$(\frac{1}{e},+\infty)$。

[变式训练]　(2024·陕西宝鸡模拟)已知$a\gt1,b\gt1$，则下列关系式不可能成立的是（ ）
A. $e^{b}\ln a\leqslant ab$
B. $e^{b}\ln a\geqslant ab$
C. $ae^{b}\geqslant b\ln a$
D. $ae^{b}\leqslant b\ln a$

答案： D　解析　对于$e^{b}\ln a\leq ab$，两边取对数得$\ln(e^{b}\ln a)\leq\ln(ab)$，即$b+\ln\ln a\leq\ln a+\ln b$，构造函数$f(x)=x-\ln x(x＞0)$，所以$f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x - 1}{x}$，当$x＞1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增，当$0＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，$f(x)$单调递减，若$1＜b\leq\ln a$，则$b-\ln b\leq\ln a-\ln(\ln a)$，即$e^{b}\ln a\leq ab$，故A正确；若$1＜\ln a\leq b$，则$b-\ln b\geq\ln a-\ln(\ln a)$，$e^{b}\ln a\geq ab$，故B正确；构造函数$g(x)=\frac{e^{x}}{x}$，则$g^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}$，当$x＞1$时，$g^{\prime}(x)＞0$，$g(x)$单调递增，所以$g(x)＞g(1)=e$，构造函数$h(x)=\frac{\ln x}{x}$，则$h^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，当$x＞e$时，$h^{\prime}(x)＜0$，$h(x)$单调递减，当$0＜x＜e$时，$h^{\prime}(x)＞0$，$h(x)$单调递增，所以$h(x)\leq h(e)=\frac{1}{e}$，所以$x＞1$时$g(x)＞h(x)$，即$\frac{e^{b}}{b}＞\frac{\ln a}{a}$，所以$ae^{b}\geq b\ln a$成立，$ae^{b}＜b\ln a$不可能成立，故C正确，D错误。故选D。