《2025年赢在微点数学》

[变式训练]（1）过点$P(0, 1)$作直线$l$，使它被直线$l_{1}$：$2x + y - 8 = 0$和$l_{2}$：$x - 3y + 10 = 0$截得的线段被点$P$平分，则直线$l$的方程为________。

答案： $x + 4y - 4 = 0$ 解析 设$l_{1}$与$l$的交点为$A(a,8 - 2a)$，则由题意知，点$A$关于点$P$的对称点$B(-a,2a - 6)$在$l_{2}$上，代入$l_{2}$的方程，得$-a - 3(2a - 6)+10 = 0$，解得$a = 4$，即点$A(4,0)$在直线$l$上，所以直线$l$的方程为$x + 4y - 4 = 0$。

（2）已知入射光线经过点$M(-3, 4)$，被直线$l$：$x - y + 3 = 0$反射，反射光线经过点$N(2, 6)$，则反射光线所在直线的方程为________。

答案： $6x - y - 6 = 0$ 解析 设点$M(-3,4)$关于直线$l:x - y + 3 = 0$的对称点为$M'(a,b)$，则反射光线所在直线过点$M'$，所以$\begin{cases}\frac{b - 4}{a - (-3)}\times1=-1,\\\frac{-3 + a}{2}-\frac{b + 4}{2}+3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0。\end{cases}$又反射光线经过点$N(2,6)$，所以所求直线的方程为$\frac{y - 0}{6 - 0}=\frac{x - 1}{2 - 1}$，即$6x - y - 6 = 0$。

1. 圆的定义和圆的方程

答案： 定点 定长 $D^{2}+E^{2}-4F＞0$ $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$

2. 点与圆的位置关系
平面上的一点$M(x_0,y_0)$与圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$之间存在着下列关系：
(1)$|MC|＞r\Leftrightarrow M$在________，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＞r^2$；
(2)$|MC| = r\Leftrightarrow M$在________，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$；
(3)$|MC|＜r\Leftrightarrow M$在________，即$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2＜r^2$。

答案：
(1)圆外
(2)圆上
(3)圆内

1. 以点$A(3,-1),B(-2,2)$为直径两端点的圆的方程是（ ）
A. $x^2 + y^2 - x - y - 8 = 0$
B. $x^2 + y^2 - x - y - 9 = 0$
C. $x^2 + y^2 + x + y - 8 = 0$
D. $x^2 + y^2 + x + y - 9 = 0$

答案： A 解析 所求圆的方程为$(x - 3)(x + 2)+(y + 1)(y - 2)=0$，整理得$x^{2}+y^{2}-x - y - 8=0$。故选 A。

2. 过点$A(1,-1),B(-1,1)$，且圆心在直线$x + y - 2 = 0$上的圆的方程是（ ）
A. $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$
B. $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$
C. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$
D. $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$

答案： C 解析 设圆心 C 的坐标为$(a,b)$，圆的半径为 r，因为圆心 C 在直线$x + y - 2=0$上，所以$b = 2 - a$。因为$|CA|^{2}=|CB|^{2}$，所以$(a - 1)^{2}+(2 - a + 1)^{2}=(a + 1)^{2}+(2 - a - 1)^{2}$，解得$a = 1$，$b = 1$，所以$r = 2$。所以所求圆的方程为$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$。故选 C。