《2025年赢在微点数学》

3. 利用基本不等式求最值
（1）已知$x$，$y$都是正数，如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x = y$时，和$x + y$有最小值______。
（2）已知$x$，$y$都是正数，如果和$x + y$等于定值$S$，那么当$x = y$时，积$xy$有最大值______。

答案： $2\sqrt{P}$
$\frac{1}{4}S^2$

1. 函数$f(x)=\frac{x^{2}+x + 1}{x}(x ＞ 0)$的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B 解析：$f(x)=\frac{x^{2}+x + 1}{x}=x+\frac{1}{x}+1\geqslant2 + 1 = 3$，当且仅当 $x = 1$ 时，等号成立，故 $f(x)$ 的最小值为 $3$。故选 B。

2. 函数$y = x(3 - x)$的最大值为（ ）
A. 3
B. $\frac{9}{4}$
C. $\frac{9}{2}$
D. $\frac{9}{8}$

答案： B 解析：$y=x(3 - x)\leqslant(\frac{x + 3 - x}{2})^2=\frac{9}{4}$，当且仅当 $x = 3 - x$，即 $x=\frac{3}{2}$ 时，等号成立。故选 B。

3. 设$a ＞ 0$，则$9a+\frac{1}{a}$的最小值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： C 解析：因为 $a＞0$，所以 $9a+\frac{1}{a}\geqslant2\sqrt{9a\times\frac{1}{a}} = 6$，当且仅当 $9a=\frac{1}{a}$，即 $a=\frac{1}{3}$ 时，等号成立，所以 $9a+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $6$。故选 C。

4. 当$x\geqslant2$时，$x+\frac{4}{x + 2}$的最小值为__________。

答案： 3 解析：设 $x + 2=t$，则 $x+\frac{4}{x + 2}=t+\frac{4}{t}-2$。又由 $x\geqslant2$，得 $t\geqslant4$，而函数 $y=t+\frac{4}{t}-2$ 在 $[4,+\infty)$ 上单调递增，因此当 $t = 4$ 时，$t+\frac{4}{t}-2$ 即 $x+\frac{4}{x + 2}$ 取得最小值，最小值为 $4+\frac{4}{4}-2 = 3$。

5. 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则这个矩形菜园的面积最大为__________。

答案： $81m^{2}$ 解析：设矩形菜园的长和宽分别为 $x m$，$y m$，则 $x＞0,y＞0$，由题意有 $2(x + y)=36$，所以 $x + y = 18$，所以矩形菜园的面积 $S=xy\leqslant\frac{(x + y)^2}{4}=\frac{18^2}{4}=81(m^{2})$，当且仅当 $x = y = 9$ 时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为 $9m$ 时，矩形菜园的面积最大，为 $81m^{2}$。

【例 1】
(1)(2024·湖北武汉模拟)当$x＞1$时，
$x+\frac{4}{x - 1}$的最小值为________。

答案： 5

(2)已知$0＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$x\sqrt{1 - 2x^{2}}$的最大值为________。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}$

【例 2】 已知两个正数$x,y$满足$x + 2y = 8xy$，则$4x + 2y$的最小值为（ ）
A.$\frac{7}{4}$
B. 2
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{5}{2}$

答案： C

【例 3】 已知$x＞0,y＞0,x + 3y + xy = 9$，则$x + 3y$的最小值为________。

答案： 6