《2025年赢在微点数学》

(2)已知$f(x)=\cos^{4}2ax - \sin^{4}2ax$的最小正周期为π,则实数a的值为________。

答案： ±$\frac{1}{2}$解析因为f(x)=cos²2ax−sin²2ax=(cos²2ax + sin²2ax)·(cos²2ax - sin²2ax)=cos 4ax的最小正周期为$\frac{2\pi}{|4a|}$ = π，所以a = ±$\frac{1}{2}$。

[变式训练]　(1)下列函数中，是周期函数的为(　　　)
A. $y = \sin|x|$
B. $y = \cos|x|$
C. $y = \tan|x|$
D. $y = (x - 1)^{0}$

答案： B解析因为cos|x| = cosx，所以y = cos|x|是周期函数。其余函数均不是周期函数。故选B。

(2)若$f(x)=\sin\omega x(\omega＞0)$在$[0,1]$上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________。

答案：
[$\frac{199\pi}{2}$, +∞)解析由f(x)=sinωx(ω＞0)的图象知，一个周期内有一个最小值点，若在[0, 1]上至少存在50个最小值点，则1≥49T + $\frac{3T}{4}$ = $\frac{199T}{4}$ = $\frac{199}{4}$·$\frac{2\pi}{\omega}$，解得ω≥$\frac{199\pi}{2}$。所以ω的取值范围是[$\frac{199\pi}{2}$, +∞)。

[例2]　(1)已知函数$f(x)=\sin x\cos(2x+\varphi)(\varphi\in[0,\pi])$为偶函数,则$\varphi =$　　　　(　　　)
A. 0
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$

答案： C解析因为f(x)的定义域为R，且为偶函数，所以f($\frac{\pi}{2}$) = f(−$\frac{\pi}{2}$)⇒cos(π + φ)=−cos(−π + φ)⇒−cosφ = cosφ⇒cosφ = 0，因为φ∈[0, π]，所以φ = $\frac{\pi}{2}$。当φ = $\frac{\pi}{2}$时，f(x)=−sinxsin 2x为偶函数，满足题意。故选C。(本题也可得到y = cos(2x + φ)为奇函数，再求φ的值)

(2)已知函数$f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，则下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 图象关于点$(\frac{\pi}{6},0)$对称
B. 图象关于点$(\frac{\pi}{3},0)$对称
C. 图象关于直线$x = \frac{\pi}{6}$对称
D. 图象关于直线$x = \frac{\pi}{3}$对称

答案： C解析由题可得，设2x + $\frac{\pi}{6}$ = kπ，k∈Z，解得x = $\frac{k\pi}{2}$−$\frac{\pi}{12}$，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为($\frac{k\pi}{2}$−$\frac{\pi}{12}$, 0)(k∈Z)。设2x + $\frac{\pi}{6}$ = kπ + $\frac{\pi}{2}$，k∈Z，解得x = $\frac{k\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{6}$，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x = $\frac{k\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{6}$(k∈Z)。通过对比选项可知C正确。

[变式训练]　(1)(多选题)(2024.九省适应性考试)已知函数$f(x)=\sin(2x+\frac{3\pi}{4})+\cos(2x+\frac{3\pi}{4})$，则　　　　　　　　　　(　　　)
A. 函数$f(x - \frac{\pi}{4})$为偶函数
B. 曲线$y = f(x)$的对称轴为$x = k\pi,k\in\mathbf{Z}$
C. $f(x)$在区间$(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$单调递增
D. $f(x)$的最小值为 - 2

答案： AC解析因为f(x)=sin(2x + $\frac{3\pi}{4}$)+cos(2x + $\frac{3\pi}{4}$)=$\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{3\pi}{4}$ + $\frac{\pi}{4}$)=−$\sqrt{2}$sin 2x，所以f(x - $\frac{\pi}{4}$)=−$\sqrt{2}$sin(2x - $\frac{\pi}{2}$)=$\sqrt{2}$cos 2x，f(x - $\frac{\pi}{4}$)为偶函数，A正确。令2x = $\frac{\pi}{2}$ + kπ，则x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{k}{2}$π，k∈Z，即曲线y = f(x)的对称轴为x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{k}{2}$π，k∈Z，B错误。令$\frac{\pi}{2}$＜2x＜$\frac{3}{2}$π，则$\frac{\pi}{4}$＜x＜$\frac{3}{4}$π，所以f(x)在($\frac{\pi}{4}$,$\frac{3}{4}$π)上单调递增，又($\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$)⊆($\frac{\pi}{4}$,$\frac{3}{4}$π)，所以f(x)在($\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$)上单调递增，C正确。因为f(x)min = −$\sqrt{2}$，所以D错误。故选AC。

(2)函数$f(x)=3\sin(2x - \frac{\pi}{3}+\varphi)+1,\varphi\in(0,\pi)$，且$f(x)$为偶函数,则$\varphi =$________，$f(x)$图象的对称中心为________。

答案： $\frac{5\pi}{6}$ ($\frac{\pi}{4}$ + $\frac{k\pi}{2}$, 1)，k∈Z解析若f(x)=3sin(2x - $\frac{\pi}{3}$ + φ)+1为偶函数，则−$\frac{\pi}{3}$ + φ = kπ + $\frac{\pi}{2}$，k∈Z，即φ = $\frac{5\pi}{6}$ + kπ，k∈Z，又因为φ∈(0, π)，所以φ = $\frac{5\pi}{6}$。所以f(x)=3sin(2x + $\frac{\pi}{2}$)+1 = 3cos 2x + 1，由2x = $\frac{\pi}{2}$ + kπ，k∈Z，得x = $\frac{\pi}{4}$ + $\frac{k\pi}{2}$，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为($\frac{\pi}{4}$ + $\frac{k\pi}{2}$, 1)，k∈Z。

[例3]　(1)(2023.全国乙卷)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$单调递增,直线$x = \frac{\pi}{6}$和$x = \frac{2\pi}{3}$为函数$y = f(x)$的图象的两条相邻对称轴,则$f(-\frac{5\pi}{12})=$　　　　　　　(　　　)
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D解析由题意，得$\frac{T}{2}$ = $\frac{2\pi}{3}$ - $\frac{\pi}{6}$ = $\frac{\pi}{2}$，取ω＞0，则T = π，ω = $\frac{2\pi}{T}$ = 2，当x = $\frac{\pi}{6}$时，f(x)取得最小值，则2·$\frac{\pi}{6}$ + φ = 2kπ - $\frac{\pi}{2}$，k∈Z，则φ = 2kπ - $\frac{5\pi}{6}$，k∈Z，不妨取k = 0，φ = -$\frac{5\pi}{6}$。则f(x)=sin(2x - $\frac{5\pi}{6}$)，得f(-$\frac{5\pi}{12}$)=sin(-$\frac{5\pi}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故选D。