《2025年赢在微点数学》

1. 函数的零点
- （1）函数零点的定义
对于一般函数$y = f(x)$，我们把使________的实数$x$叫做函数$y = f(x)$的零点。
- （2）几个等价关系
方程$f(x)=0$有实数解$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$有________$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$的图象与________有公共点。
- （3）函数零点存在定理
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有________，那么，函数$y = f(x)$在区间________内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得________，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解。
- （4）有关函数零点的重要结论
①若连续不断的函数$f(x)$是定义域上的单调函数，则$f(x)$至多有一个零点。
②连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

答案： （1）$f(x)=0$
方程$f(x)=0$有实数解$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$有零点$\Leftrightarrow$函数$y = f(x)$的图象与$x$轴有公共点。
（2）零点
$x$轴
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b)＜0$，那么，函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解。
（3）$f(a)f(b)＜0$
$(a,b)$
$f(c)=0$
对于在区间$[a,b]$上图象连续不断且$f(a)f(b)＜0$的函数$y = f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

2. 二分法
对于在区间$[a,b]$上图象连续不断且$f(a)f(b)＜0$的函数$y = f(x)$，通过不断地把它的________所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

答案： 零点
一分为二

1. 若函数$f(x)$的零点是$2$，则函数$f(2x)$的零点是 （ ）
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $4$

答案： B 解析：由题意知 $f(2)=0$，所以 $f(2\times1)=0$，即 1 为函数 $f(2x)$ 的零点。故选 B。

2. 函数$f(x)=\ln x-\frac{2}{x}$的零点所在的大致区间是 （ ）
A. $(1,2)$
B. $(2,3)$
C. $(\frac{1}{e},1)$和$(3,4)$
D. $(4,+\infty)$

答案： B 解析：因为 $f(2)=\ln 2 - 1＜0$，$f(3)=\ln 3-\frac{2}{3}＞0$，所以 $f(2)f(3)＜0$，且函数 $f(x)$ 的图象连续不断，$f(x)$ 为增函数，所以 $f(x)$ 的零点在区间 $(2,3)$ 内。故选 B。

3. 若函数$f(x)=2^{x}-\frac{2}{x}-a$的一个零点在区间$(1,2)$内，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(1,3)$
B. $(1,2)$
C. $(0,3)$
D. $(0,2)$

答案： C 解析：由题意知函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增，又函数的一个零点在区间 $(1,2)$ 内，所以 $\begin{cases}f(1)＜0\\f(2)＞0\end{cases}$，即 $\begin{cases}-a＜0\\4 - 1 - a＞0\end{cases}$，解得 $0 ＜ a＜3$。故选 C。

4. 若二次函数$f(x)=x^{2}+kx + k$在$\mathbf{R}$上无零点，则实数$k$的取值范围是________。

答案： $(0,4)$ 解析：$\Delta = k^{2}-4k＜0$，解得 $0 ＜ k＜4$。

5. 函数$f(x)=e^{x}+3x$的零点有________个。

答案： 1 解析：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，又 $f(-1)=\frac{1}{e}-3＜0$，$f(0)=1＞0$，因此函数 $f(x)$ 有且只有 1 个零点。