《2025年赢在微点数学》

【典例2】 已知函数$f(x)=3^{x}-(\frac{1}{3})^{x},x\in[1,
2]$，则函数$f(x)$的值域是________。

答案： $[\frac{8}{3},\frac{80}{9}]$

思考题2 设函数$f(x)=e^{x}+ae^{-x}$($a$为常
数，$e$是自然对数的底数)，若$f(x)$是奇函数，
则$a =$________，若$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，
则$a$的取值范围是________。

答案： $-1$  $(-\infty,0]$

【典例3】 画出函数$y=\frac{3 - 2x}{x - 3}$的图象，写出函
数的单调区间，并求出函数在区间$[-1,2]$上
的值域。

答案： 解：$y=\frac{3 - 2x}{x - 3}=\frac{(6 - 2x)-3}{x - 3}=-2-\frac{3}{x - 3}$。设$f(x)=\frac{-3}{x}$，则$y=\frac{3 - 2x}{x - 3}=f(x - 3)-2$。根据平移变换的规则知，将函数$f(x)=\frac{-3}{x}$的图象先向右平移$3$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度，即得函数$y=\frac{3 - 2x}{x - 3}$的图象，如图所示。由图象知，其单调递增区间是$(-\infty,3)$和$(3,+\infty)$。由于函数在$[-1,2]$上单调递增，且$y|_{x=-1}=-\frac{5}{4}$，$y|_{x = 2}=1$，所以其值域是$[-\frac{5}{4},1]$。

思考题3 若函数$f(x)=\frac{x - 1}{x + a}$，在$(-\infty,-1)$
上是减函数，则$a$的取值范围是________。

答案： $(-\infty,-1)$