《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，2024年3月20日为春分时节，其日影长为（ ）
A. 4.5尺
B. 3.5尺
C. 2.5尺
D. 1.5尺

答案： A

[例2]　意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第3项起，每个数等于它前面两个数的和，即$a_{n + 2}=a_{n + 1}+a_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$，后来人们把这样的一列数组成的数列$\{a_{n}\}$称为“斐波那契数列”，记$a_{2024}=t$，则$a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2023}=$（ ）
A. $t^{2}$
B. $t - 1$
C. $t$
D. $t + 1$

答案： C

[变式训练]　已知数列$\{a_{n}\}$，若$a_{n + 1}=a_{n}+a_{n + 2}(n\in\mathbf{N}^{*})$，则称数列$\{a_{n}\}$为“凸数列”，已知数列$\{b_{n}\}$为“凸数列”，且$b_{1}=1$，$b_{2}=-2$，则$\{b_{n}\}$的前2025项和为_______。

答案： -4

[例3]　已知正项数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，且$a_{1}=2$，$4S_{n}=a_{n}a_{n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$。
（1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）设数列$\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$的前n项和为$T_{n}$，求证：$\frac{n}{4n + 4}＜T_{n}＜\frac{1}{2}$。

答案：