《2025年赢在微点数学》

（1）（2024·河北保定部分学校联考）若直线 $y = 4x + m$ 是曲线 $y = x^{3}-nx + 13$ 与曲线 $y = x^{2}+2\ln x$ 的公切线，则 $n - m =$ （ ）
A. 11 B. 12 C. - 8 D. - 7

答案： A

（2）已知函数 $f(x)=e^{x}-1$，$g(x)=\ln x + 1$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公切线有 （ ）
A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 3 条

答案： C

1. 函数的单调性与导数的关系

答案： 单调递增@@单调递减@@常数函数@@定义域@@零点

2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第 1 步，确定函数的 ；
第 2 步，求出导数$f'(x)$的 ；
第 3 步，用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，列表给出$f'(x)$在各区间上的正负，由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性。

答案： 定义域   零点

1. (多选题)如果函数$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$的图象如图所示，则以下关于函数$y = f(x)$的判断正确的是 （ ）

A. 在区间$(2,4)$上单调递减
B. 在区间$(2,3)$上单调递增
C. -3 是极小值点
D. 4 是极大值点

答案： BD 解析：函数$y = f(x)$在区间$(2,4)$上$f^{\prime}(x)＞0$，则函数$f(x)$在区间$(2,4)$上单调递增，故 A 不正确，B 正确；C 项，由题中图象知当$x = - 3$时，函数$f^{\prime}(x)$取得极小值，但是函数$y = f(x)$没有取得极小值，故 C 错误；D 项，当$x = 4$时，$f^{\prime}(x)=0$，当$2＜x＜4$时，$f^{\prime}(x)＞0$，函数$y = f(x)$单调递增，当$x＞4$时，$f^{\prime}(x)＜0$，函数$y = f(x)$单调递减，故 4 是函数$f(x)$的极大值点，故 D 正确。故选 BD。