《2025年赢在微点数学》

【例1】（1）函数$f(x) = \sin x + \cos(x + \frac{\pi}{6})$的值域为 （ ）
A.$[-2,2]$
B.$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$
C.$[-1,1]$
D.$[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$

答案： C 解析 $f(x) = \sin x + \cos(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{6})$。因为$x \in \mathbf{R}$，所以$\cos(x - \frac{\pi}{6}) \in [-1,1]$，所以函数$f(x)$的值域为$[-1,1]$。故选C。

（2）函数$y = -2\tan^{2}x + 3\tan x - 1,x\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$的值域为________。

答案： $[-6,\frac{1}{8}]$ 解析 因为$x \in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$，所以$\tan x \in [-1,1]$，又$y = -2\tan^{2}x + 3\tan x - 1 = -2(\tan x - \frac{3}{4})^{2} + \frac{1}{8}$，则当$\tan x = \frac{3}{4}$时，$f(x)_{\max} = \frac{1}{8}$，当$\tan x = -1$时，$f(x)_{\min} = -6$，所以所求函数的值域为$[-6,\frac{1}{8}]$。

【变式训练】（1）当$x\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]$时，函数$y = 3 - \sin x - 2\cos^{2}x$的值域为________。

答案： $[\frac{7}{8},2]$ 解析 因为$x \in [\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]$，所以$\sin x \in [-\frac{1}{2},1]$，又$y = 3 - \sin x - 2\cos^{2}x = 3 - \sin x - 2(1 - \sin^{2}x) = 2(\sin x - \frac{1}{4})^{2} + \frac{7}{8}$，所以当$\sin x = \frac{1}{4}$时，$y_{\min} = \frac{7}{8}$，当$\sin x = -\frac{1}{2}$或$\sin x = 1$时，$y_{\max} = 2$。即函数的值域为$[\frac{7}{8},2]$。

（2）(2024·济南市模拟)已知函数$f(x) = \sin(\omega x - \frac{\pi}{3})(\omega ＞ 0)$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，则$\omega$的取值范围为________。

答案： $[\frac{5}{3},\frac{10}{3}]$ 解析 因为$\omega ＞ 0$，所以当$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$时，$\omega x - \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{3},\frac{\omega\pi}{2} - \frac{\pi}{3}]$，又函数$f(x) = \sin(\omega x - \frac{\pi}{3})$在$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$上的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]$，所以结合正弦函数的图象可知，$\frac{\pi}{2} \leq \frac{\omega\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \leq \frac{4\pi}{3}$，解得$\frac{5}{3} \leq \omega \leq \frac{10}{3}$，即$\omega$的取值范围为$[\frac{5}{3},\frac{10}{3}]$。

【例2】 函数$y = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$的单调递减区间是 （ ）
A.$[k\pi - \frac{\pi}{8},k\pi + \frac{3\pi}{8}](k\in\mathbf{Z})$
B.$[2k\pi - \frac{\pi}{8},2k\pi + \frac{3\pi}{8}](k\in\mathbf{Z})$
C.$[2k\pi + \frac{3\pi}{8},2k\pi + \frac{7\pi}{8}](k\in\mathbf{Z})$
D.$[k\pi + \frac{3\pi}{8},k\pi + \frac{7\pi}{8}](k\in\mathbf{Z})$

答案： A 解析 $y = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x) = -\sin(2x - \frac{\pi}{4})$，要求函数$y = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$的单调递减区间，即求函数$y = \sin(2x - \frac{\pi}{4})$的单调递增区间。令$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，得$-\frac{\pi}{8} + k\pi \leq x \leq \frac{3\pi}{8} + k\pi,k \in \mathbf{Z}$，所以函数$y = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$的单调递减区间是$[k\pi - \frac{\pi}{8},k\pi + \frac{3\pi}{8}](k \in \mathbf{Z})$。故选A。

【例3】 已知函数$f(x) = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})$，设$a = f(\frac{\pi}{7})$，$b = f(\frac{\pi}{6})$，$c = f(\frac{\pi}{4})$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是 （ ）
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$a ＞ c ＞ b$
C.$c ＞ a ＞ b$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案： A 解析 $a = f(\frac{\pi}{7}) = 2\cos\frac{13\pi}{42}$，$b = f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos\frac{\pi}{3}$，$c = f(\frac{\pi}{4}) = 2\cos\frac{5\pi}{12}$，因为$y = \cos x$在$[0,\pi]$上单调递减，$\frac{13\pi}{42} ＜ \frac{\pi}{3} ＜ \frac{5\pi}{12}$，所以$a ＞ b ＞ c$。故选A。