《2025年赢在微点数学》

1. 两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线$l_1$,$l_2$,其斜率分别为$k_1$,$k_2$,则有$l_1// l_2\Leftrightarrow$______。特别地，当直线$l_1$,$l_2$的斜率都不存在时，$l_1$与$l_2$______。
与$Ax + By + C = 0$平行的直线，可设为$Ax + By + m = 0(m\neq C)$。
(2)两条直线垂直：如果两条直线$l_1$,$l_2$斜率存在，设为$k_1$,$k_2$,则$l_1\perp l_2\Leftrightarrow$______。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线______。

答案：
(1)$k_{1}=k_{2}$ 平行
(2)$k_{1}\cdot k_{2}=-1$ 垂直

2. 两直线相交
(1)交点：直线$l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0$和$l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0$的公共点的坐标与方程组$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}$的解一一对应。
(2)相交$\Leftrightarrow$方程组有______，交点坐标就是方程组的解。
(3)平行$\Leftrightarrow$方程组______。
(4)重合$\Leftrightarrow$方程组有______。

答案：
(2)唯一解
(3)无解
(4)无数个解

3. 三种距离公式
(1)点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$间的距离为$|AB| =$______。
(2)点$P(x_0,y_0)$到直线$l:Ax + By + C = 0$的距离为$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。
(3)两平行直线$l_1:Ax + By + C_1 = 0$与$l_2:Ax + By + C_2 = 0(C_1\neq C_2)$间的距离为$d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。

答案：
(1)$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

4. 对称问题
(1)点$P(x_0,y_0)$关于点$A(a,b)$的对称点的坐标为$P'$______。
(2)设点$P(x_0,y_0)$关于直线$y = kx + b$的对称点为$P'(x',y')$,则有$\begin{cases}\frac{y' - y_0}{x' - x_0}\cdot k = -1\\\frac{y' + y_0}{2} = k\cdot\frac{x' + x_0}{2} + b\end{cases}$可求出$x'$,$y'$。

答案：
(1)$(2a - x_{0},2b - y_{0})$

1. 过点$A(2,3)$且与直线$l:2x - 4y + 7 = 0$平行的直线方程是（ ）
A. $x - 2y + 4 = 0$
B. $x - 2y - 4 = 0$
C. $2x - y + 1 = 0$
D. $x + 2y - 8 = 0$

答案： A 解析 由题意，设所求直线方程为$2x - 4y + c = 0(c\neq7)$，因为直线经过点$A(2,3)$，所以$2\times2 - 4\times3 + c = 0$，解得$c = 8$，所以所求直线方程为$2x - 4y + 8 = 0$。故选A。

2. 若直线$(2m - 1)x + my + 1 = 0$和直线$mx + 3y + 3 = 0$垂直，则实数$m$的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. 2
D. -1或0

答案： D 解析 由两直线垂直可得$m(2m - 1)+3m = 0$，解得$m = 0$或$m = - 1$。故选D。