《2025年赢在微点数学》

5. 若函数$y = f(x + a)$是偶函数，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$对称；若函数$y = g(x + b)$是奇函数，则函数$y = g(x)$的图象关于点$(b,0)$对称。

答案： x = a@@(b,0)@@解析：因为 $y = f(x + a)$ 是偶函数，所以其图象关于 $y$ 轴对称，将 $y = f(x + a)$ 的图象向左 $(a\lt0)$ 或向右 $(a\gt0)$ 平移 $|a|$ 个单位长度，得到函数 $y = f(x)$ 的图象，则向右 $(a\gt0)$ 图象的对称轴平移至直线 $x = a$ 处，即函数 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 对称。同理，函数 $y = g(x)$ 的图象关于点 $(b,0)$ 对称。

【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=\sqrt{3 - x^{2}}+\sqrt{x^{2} - 3}$；
(2)$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x,x＜0,\\-x^{2}+x,x＞0;\end{cases}$
(3)$f(x)=\log_{2}(x+\sqrt{x^{2}+1})$。

答案： 　解　
(1)由{x3−²−x3²≥≥00,,得x²=3,解得x=±$\sqrt{3}$,即函数∮(x)的定义城为(一√3,$\sqrt{3}$),从而f(x)=　$\sqrt{3−x²}$+$\sqrt{x²−3}$=0。因此∮(−x)=−f(x)且f(−x)=∮(x),所以函数f(x)既是奇函数叉是偶函数。
　
(2)显然函数f(x)的定义城为(−0o,，))U(0,÷oo)'，关于原点对称。因为当x＜0时,一x＞0,则∮(一x)=−(−x)²一x =−x²−x=−f(x);当x＞0时,−x＜0,则f(−x)=
　(一x)²一x=x²一x=一∮(x)。综上可知,对于定义城肉的任意x,总有f(一x)=一f(x)成立,所以函数∮(x)为奇函数。
　
(3)显然函数∮(x)的定义城为R,f(−x)=log[−x+$\sqrt{(−x)²+1}$]=log(　$\sqrt{x²+1}$−x)=1og(　$\sqrt{x²+1}$+
x)−¹=−log(　$\sqrt{x²+1}$+x)=−f(x),故∮(x)为奇函数。

【例2】
 (1)已知函数$f(x)$为奇函数且定义域为$\mathbf{R}$，当$x＞0$时，$f(x)=x + 1$，则当$x＜0$时，$f(x)=$________。

答案： $x - 1$

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若$f(x)=(x + a)\cdot\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$a=$（ ）
A. $-1$ B. $0$ C. $\frac{1}{2}$ D. $1$

答案： B

1.设函数$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. $f(x - 1) - 1$
B. $f(x - 1) + 1$
C. $f(x + 1) - 1$
D. $f(x + 1) + 1$

答案： B

2.已知$f(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx - 9$，且$f( - 3)=12$，那么$f(3)=$（ ）
A. $-30$
B. $-40$
C. $30$
D. $40$

答案： A

3.(2023·全国乙卷)已知$f(x)=\frac{xe^{x}}{e^{ax}-1}$是偶函数，则$a=$（ ）
A. $-2$
B. $-1$
C. $1$
D. $2$

答案： D

【例3】
 (1)若定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$满足$f(2 - x)= - f(x)$，且当$1\leqslant x\leqslant 2$时，$f(x)=x - 1$，则$f(\frac{7}{2})$的值等于（ ）
A. $\frac{5}{2}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$

答案： D