《2025年赢在微点数学》

[典例1] （2024·安徽模拟）已知函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}+\sin x - 1$。
（1）判定函数$f(x)$在$\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right]$上的零点个数；
（2）$\forall x\geqslant0$，$f(x)+mx\geqslant0$恒成立，求实数$m$的取值范围。

答案： 解]　
(1)由题意得f'(x)=e”+cosx,当x∈−π,−$\frac{π}{2}$]时,易得函数f'(x)单调递增，而f′(−π)=e−=−1＜00,∮"(−$\frac{π}{2}$)=e−＞0,故存在x∈(−π,,−$\frac{π}{2}$),使f"(x0)=0,当x∈[−π,x0)
　时,f'(x)＜0;当x∈(x0,−$\frac{π}{2}$)时,f,(x)＞0,而f(−π)=e−=−1＜0,f(−$\frac{π}{2}$)=e−−2＜0,所以
必要条件探路
　　　函数f(x)在|一π,−$\frac{π}{2}$]上无零点。当x∈(−$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]时,f'(x)=e²+cosx＞0,所以函数f(x)在(|−$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上单调递增,又f
(0)=0,,所以函数f(x)在(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]上有1个零点。综上所述,函数∮((x)在;[一π,$\frac{π}{2}$]上有1个零点。
(2)设g(x)=e²+sinx−1+mx(x≥0),则g
(0)=　　
　　　0,g'(x)=e²+cosx+m,g'
(0)=m+2。由于g"(x)=ex一sinx＞0,所以g'(x)在[0,十∞∞)上单调递增。若m≥−2,则有g'(x)≥g'
(0)≥0,此时g(x)在[0,十∞)上单调递增,所以g(x)≥g
(0)=0符合题意。若m＜−2,则g'
(0)＜0,在x＞0时,存在一个区间(0,x。),使得g'(x)＜0。
　　　此时有g(x。)＜0与题意不符。故m＜−2时不合题意。综上可知，实数m的取值范围是[−2，+∞)。

[典例2] 已知函数$f(x)=a\mathrm{e}^{x - 1}-\ln x+\ln a$。
（1）当$a = \mathrm{e}$时，求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若$f(x)\geqslant1$，求$a$的取值范围。

答案： [解]　
(1)当α=e时,f(x)=e²−lnx+1,f'(x)=e²−$\frac{1}{x}$,f'
(1)=e−1,f
(1)=e+1,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y−(e十1)=(e−1)(x−1),即y=(e−1)x+2。直线y=(e−1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为$\frac{−2}{e−1}$,2。因此所求三角形的面积为$\frac{2}{e−1}$8

(2)由于f(x)≥1恒成立,故f
(1)=a+lna≥1 必然成立,由于g(a)=a+lna为增函数,且g
(1)=1,得a≥1。当a≥1时,令h(x)=e²−1_1nx−1,则f(x)−1≥h(x),h'(x)=ex−1−$\frac{1}{x}$,h"(x)=ex−1+$\frac{1}{x²}$＞0,故h'(x)在(0,十∞o)上单调递增,又h'
(1)=0,故x∈(0,1)时,h'(x)＜0;x∈(1,+∞o)时,h'(x)＞0,故h(x)在区间(0,1)
　上单调递减，在区间(1,十∞)上单调递增，故h(x)min=h
(1)=0,所以h(x)≥0,f(x)≥1。当0＜a＜1时,f
(1)=a+lna＜1与f(x)≥1矛盾。综上所述,a的取值范围为[1,十∞)。