《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　在直棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，底面为直角梯形，AB//CD且∠ADC = 90°，AD = 1，CD = √3，BC = 2，AA₁ = 2，E是CC₁的中点，求直线A₁B₁到平面ABE的距离。

答案：
解　如图，以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系，则$A_{1}(1,0,2)$，$A(1,0,0)$，$E(0,\sqrt{3},1)$，$C(0,\sqrt{3},0)$。过点$C$作$AB$的垂线交$AB$于点$F$，易得$BF=\sqrt{3}$，所以$B(1,2\sqrt{3},0)$，$B_{1}(1,2\sqrt{3},2)$。所以$\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,-\sqrt{3},1)$。设平面$ABE$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BE}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2\sqrt{3}y = 0\\-x-\sqrt{3}y+z = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}y = 0\\x = z\end{cases}$，取$x = 1$，则$z = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,0,1)$是平面$ABE$的一个法向量。因为$\overrightarrow{A_{1}B_{1}}=\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{3},0)$，所以$AB// A_{1}B_{1}$，又$AB\subset$平面$ABE$，$A_{1}B_{1}\not\subset$平面$ABE$，所以$A_{1}B_{1}//$平面$ABE$，所以点$A_{1}$到平面$ABE$的距离即为所求。因为$\overrightarrow{AA_{1}}=(0,0,2)$，所以$A_{1}B_{1}$到平面$ABE$的距离为$\frac{|\overrightarrow{AA_{1}}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

[例4]　　如图，正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁ = 3，底面边长为AB = 2，E，F分别为棱BC，B₁C₁的中点。
　(1)求证:平面BD₁F//平面C₁DE;
　(2)求平面BD₁F与平面C₁DE间的距离。
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解　
(1)证明:如图，分别以$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$C(0,2,0)$，$D_{1}(0,0,3)$，$C_{1}(0,2,3)$，$B_{1}(2,2,3)$，$B(2,2,0)$，$E(1,2,0)$，$F(1,2,3)$，所以$\overrightarrow{D_{1}F}=(1,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(1,2,0)$，所以$\overrightarrow{D_{1}F}//\overrightarrow{DE}$，所以$D_{1}F// DE$。又因为$\overrightarrow{BF}=(-1,0,3)$，$\overrightarrow{EC_{1}}=(-1,0,3)$，所以$\overrightarrow{BF}//\overrightarrow{EC_{1}}$，所以$BF// EC_{1}$，又$D_{1}F\cap BF = F$，$DE\cap EC_{1}=E$，所以平面$BD_{1}F//$平面$C_{1}DE$。
(2)由
(1)可知平面$BD_{1}F$与平面$C_{1}DE$间的距离等于点$D_{1}$到平面$C_{1}DE$的距离，设平面$C_{1}DE$的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，由$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DE}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EC_{1}}=0\end{cases}$，得$\begin{cases}x + 2y = 0\\-x + 3z = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x\\z=\frac{1}{3}x\end{cases}$，令$x = 6$，得$\boldsymbol{n}=(6,-3,2)$是平面$C_{1}DE$的一个法向量。又$\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=(0,2,0)$，所以$D_{1}$到平面$C_{1}DE$的距离为$\frac{|\overrightarrow{D_{1}C_{1}}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\left|\frac{-3\times2}{7}\right|=\frac{6}{7}$，所以平面$BD_{1}F$与平面$C_{1}DE$间的距离为$\frac{6}{7}$。

[变式训练]　　已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求平面A₁BD与平面B₁CD₁间的距离。

答案：
解　以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$A_{1}(1,0,1)$，$B(1,1,0)$，$C(0,1,0)$，$B_{1}(1,1,1)$，$D_{1}(0,0,1)$，所以$\overrightarrow{A_{1}B}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}D}=(-1,0,-1)$，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=(-1,0,0)$。因为$\overrightarrow{D_{1}C}=(0,1,-1)=\overrightarrow{A_{1}B}$，$\overrightarrow{B_{1}C}=(-1,0,-1)=\overrightarrow{A_{1}D}$，所以$D_{1}C// A_{1}B$，$B_{1}C// A_{1}D$，又$D_{1}C\cap B_{1}C = C$，$A_{1}B\cap A_{1}D = A_{1}$，所以平面$A_{1}BD//$平面$B_{1}CD_{1}$。设平面$A_{1}BD$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_{1}B}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_{1}D}=0\end{cases}$，所以$\begin{cases}y - z = 0\\-x - z = 0\end{cases}$。令$z = 1$，得$y = 1$，$x=-1$，所以$\boldsymbol{n}=(-1,1,1)$是平面$A_{1}BD$的一个法向量。所以点$D_{1}$到平面$A_{1}BD$的距离为$\frac{|\overrightarrow{A_{1}D_{1}}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。因为平面$A_{1}BD$与平面$B_{1}CD_{1}$间的距离等于点$D_{1}$到平面$A_{1}BD$的距离，所以平面$A_{1}BD$与平面$B_{1}CD_{1}$间的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。