《2025年赢在微点数学》

【例2】（2024·开封模拟）在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们接受，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展。为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用模型$y = \frac{M}{1+(\frac{M}{y_{0}} - 1)e^{-rt}}$进行估计，其中$y$（单位：万辆）为第$t$年底新能源汽车的保有量，$r$为年增长率，$M$为饱和量，$y_{0}$为初始值（初始值对应第$0$年底的新能源汽车保有量）。若该省2023年底的新能源汽车保有量为$20$万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为$12\%$，饱和量为$1 300$万辆，那么2033年底该省新能源汽车的保有量为（注：$\ln 0.887\approx - 0.12$，$\ln 0.30\approx - 1.2$） （ ）
A. $62$万辆
B. $63$万辆
C. $64$万辆
D. $65$万辆

答案： C解析：根据题中所给模型，代入有关数据，注意以2023年为初始值，所以2033年底该省新能源汽车的保有量为$y=\frac{1300}{1+(\frac{1300}{20}-1)e^{-0.12×10}}=\frac{1300}{1 + 64e^{-1.2}}$。因为$\ln0.30\approx - 1.2$，所以$e^{-1.2}\approx0.30$，所以$y=\frac{1300}{1 + 64e^{-1.2}}\approx\frac{1300}{1 + 64×0.30}\approx64$。故选C。

【变式训练】2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力$f$，经研究发现摩擦力$f$与飞船速度$v$有关，且满足$f(v)=\frac{\frac{10}{9}G}{1 + e^{-0.67(\frac{v}{v_{0}}+0.27)}}$，其中$G$为飞船重力，$v_{0}$为飞船初速度。已知当$f(v)=G$时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，$v\approx(\ln 3\approx1.1)$ （ ）
A. $2.9v_{0}$
B. $3.0v_{0}$
C. $3.1v_{0}$
D. $3.2v_{0}$

答案： B@@解析：由题意得$G=\frac{\frac{10}{9}G}{1 + e^{-0.67(\frac{v}{v_0}+0.27)}}$，即$1 + e^{-0.67(\frac{v}{v_0}+0.27)}=\frac{10}{9}$，即$e^{-0.67(\frac{v}{v_0}+0.27)}=\frac{1}{9}$，两边同取自然对数得，$-0.67(\frac{v}{v_0}+0.27)= - 2\ln3$，所以$v\approx(\frac{-2.2}{-0.67}-0.27)v_0\approx3.0v_0$。故选B。

【例3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业。经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为$3$万元，每生产$x$万件，需另投入流动成本为$W(x)$万元，在年产量不足$8$万件时，$W(x)=\frac{1}{3}x^{2}+x$（万元）。在年产量不小于$8$万件时，$W(x)=6x+\frac{100}{x}-38$（万元）。每件产品售价为$5$元。通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完。
（1）写出年利润$L(x)$（万元）关于年产量$x$（万件）的函数解析式；（注：年利润 = 年销售收入 - 固定成本 - 流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 解： （1）因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当$0 ＜ x ＜ 8$时，$L(x)=5x - (\frac{1}{3}x^2 + x)-3=-\frac{1}{3}x^2 + 4x - 3$；当$x\geq8$时，$L(x)=5x - (6x+\frac{100}{x}-38)-3 = 35-(x+\frac{100}{x})$。所以$L(x)=\begin{cases}-\frac{1}{3}x^2 + 4x - 3, & 0 ＜ x ＜ 8 \\35-(x+\frac{100}{x}), & x\geq8\end{cases}$。 （2）当$0 ＜ x ＜ 8$时，$L(x)=-\frac{1}{3}(x - 6)^2 + 9$。此时，当$x = 6$时，$L(x)$取得最大值，为9万元。当$x\geq8$时，$L(x)=35-(x+\frac{100}{x})\leq35 - 2\sqrt{x\cdot\frac{100}{x}}=35 - 20 = 15$，当且仅当$x=\frac{100}{x}$时等号成立，即$x = 10$时，$L(x)$取得最大值，为15万元。因为$9 ＜ 15$，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元。