《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1. 如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0)两点,与y轴交于点C,直线y= -3x+3过抛物线的顶点P.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)若直线x= m(-5＜m＜0)与抛物线交于点E,与直线BC交于点F.
①当EF取得最大值时,求m的值和EF的最大值.
②当△EFC是等腰三角形时,求点E的坐标.

答案： 1.解析　
(1)
∵抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点,
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1-5}{2}=-2$,在$y=-3x+3$中,令$x=-2$,得$y=9$,
∴抛物线的顶点坐标为(−2,9),设抛物线的函数解析式为$y=a(x+2)^2+9$,将A(1,0)代入,得$0=9a+9$,解得$a=-1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-(x+2)^2+9=-x^2-4x+5$.
(2)①在$y=-x^2-4x+5$中,令$x=0$,得$y=5$,
∴C(0,5),由B(−5,0),C(0,5)得直线BC的解析式为$y=x+5$,
∴E(m,$-m^2-4m+5$),F(m,$m+5$),
∴$EF=-m^2-4m+5-(m+5)=-m^2-5m=-(m+\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$,
∵$-1＜0$,
∴当$m=-\frac{5}{2}$时,EF取最大值$\frac{25}{4}$,
∴m的值为$-\frac{5}{2}$,EF的最大值为$\frac{25}{4}$.
②
∵E(m,$-m^2-4m+5$),F(m,$m+5$),C(0,5),
∴$EF^2=(m^2+5m)^2$,$EC^2=m^2+(m^2+4m)^2$,$FC^2=2m^2$.若$EF=EC$,则$(m^2+5m)^2=m^2+(m^2+4m)^2$,解得$m=0$(E与C重合,舍去)或$m=-4$,
∴E(−4,5).若$EF=FC$,则$(m^2+5m)^2=2m^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=\sqrt{2}-5$或$m=-\sqrt{2}-5$(不合题意,舍去),
∴E($\sqrt{2}-5$,$-2+6\sqrt{2}$).若$EC=FC$,则$m^2+(m^2+4m)^2=2m^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=-3$或$m=-5$(不合题意,舍去),
∴E(−3,8).综上所述,点E的坐标为(−4,5)或($\sqrt{2}-5$,$-2+6\sqrt{2}$)或(−3,8).

2. [2024 江苏徐州期中]如图,抛物线$y= 2x^2-4x-6$与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点D是抛物线上的一动点.
(1)点A的坐标为____,点B的坐标为____,点C的坐标为____.
(2)如图2,当点D在第四象限时,连接BD、CD和BC,得到△BCD,求△BCD的面积的最大值及此时点D的坐标.
(3)点E在x轴上运动,若以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点E的坐标.

答案：
2.解析　
(1)由$y=0$,得$2x^2-4x-6=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,
∴A(−1,0),B(3,0),当$x=0$时,$y=-6$,
∴C(0,−6),故答案为(−1,0),(3,0),(0,−6).
(2)过点D作$DH// y$轴,交BC于H,如图, 设直线BC的解析式为$y=kx+b$,将B(3,0),C(0,−6)代入,得$\begin{cases}3k+b=0\\b=-6\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=2\\b=-6\end{cases}$,
∴直线BC的解析式为$y=2x-6$,设D(t,$2t^2-4t-6$),则H(t,$2t-6$),
∴$DH=2t-6-(2t^2-4t-6)=-2t^2+6t$,
∴$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDH}+S_{\triangle CDH}=\frac{1}{2}DH\cdot (x_B-x_D)+\frac{1}{2}DH\cdot (x_D-x_C)=\frac{1}{2}DH\cdot (x_B-x_C)=\frac{1}{2}(-2t^2+6t)×3=-3(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{4}$,
∵$-3＜0$,
∴当$t=\frac{3}{2}$时,$S_{\triangle BCD}$取得最大值$\frac{27}{4}$,此时点D的坐标为($\frac{3}{2}$,$-\frac{15}{2}$).
(3)点E的坐标为(1,0)或(5,0)或($-2-\sqrt{7}$,0)或($\sqrt{7}-2$,0).提示:设D(m,$2m^2-4m-6$),E(n,0),又B(3,0),C(0,−6),当BC,DE为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}m+n=3+0\\2m^2-4m-6+0=0-6\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=0\\n=3\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$,当$m=0$时,D与C重合,不符合题意,舍去;当$m=2$时,D(2,−6),E(1,0).当BD,CE为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}m+3=n+0\\2m^2-4m-6+0=-6+0\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=0\\n=3\end{cases}$(不符合题意,舍去)或$\begin{cases}m=2\\n=5\end{cases}$,
∴D(2,−6),E(5,0).当BE,CD为平行四边形的对角线时,$\begin{cases}m+0=n+3\\2m^2-4m-6-6=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=1-\sqrt{7}\\n=-2-\sqrt{7}\end{cases}$或$\begin{cases}m=1+\sqrt{7}\\n=\sqrt{7}-2\end{cases}$,
∴D($1-\sqrt{7}$,6),E($-2-\sqrt{7}$,0)或D($1+\sqrt{7}$,6),E($\sqrt{7}-2$,0).综上所述,点E的坐标为(1,0)或(5,0)或($-2-\sqrt{7}$,0)或($\sqrt{7}-2$,0).