《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

23.「2025江苏南京金陵中学仙林分校月考」(8分)某超市于今年年初以每件25元的价格购进一批商品.当商品售价为40元/件时,一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销,销售量持续走高.在售价不变的基础上,三月份的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
(1)求二、三这两个月的月平均增长率.
(2)从四月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,销售单价与月平均销量的关系如表:

若要使利润达到4250元,且尽可能多地提升月平均销售量,则销售单价应定为多少元?

答案： 解析
(1)二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得$256(1 + x)^2 = 400$， (2分)解得$x_1 = \frac{1}{4} = 25\%$，$x_2 = -\frac{9}{4}$（不合题意，舍去）。 (3分)答：二、三这两个月的月平均增长率为25%。 (4分)
(2)由表知，该商品每降价1元，销售量增加5件。设当每件该商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得$(40 - 25 - m)(400 + 5m) = 4250$， (6分)解得$m_1 = 5$，$m_2 = -70$（不合题意，舍去）。 (7分)答：当每件该商品降价5元时，商场获利4250元。 (8分)

24.「2023山东东营中考改编」(8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,$DE⊥AC$,垂足为E.
(1)求证:DE是$\odot O$的切线.
(2)若$∠C= 30^{\circ },CD= 2\sqrt {3}$,求$\widehat {BD}$的长和图中阴影部分的面积.

答案： 解析
(1)证明：如图，连接OD，则$OD = OB$，
∴$\angle ODB = \angle B$。
∵$AB = AC$，
∴$\angle C = \angle B$，
∴$\angle ODB = \angle C$，
∴$OD// AC$， (1分)
∵$DE\perp AC$，
∴$\angle ODE = \angle CED = 90^{\circ}$， (2分)
∵OD是$\odot O$的半径，
∴DE是$\odot O$的切线。 (3分)
(2)如图，连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$，
∴$AD\perp BC$，
∵$AB = AC$，$CD = 2\sqrt{3}$，
∴$BD = CD = 2\sqrt{3}$， (4分)
∵$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$，
∴$AB = 2AD$，在$Rt\triangle ABD$中，$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
∴$BD^2 + AD^2 = (2AD)^2$，解得$AD = 2$（舍负）， (5分)
∵$OD = OA$，$\angle AOD = 2\angle B = 60^{\circ}$，
∴$\triangle AOD$是等边三角形，$\angle BOD = 120^{\circ}$，
∴$OD = AD = 2$， (6分)
∴$\widehat{BD}$的长=$\frac{120\pi×2}{180} = \frac{4\pi}{3}$， (7分)图中阴影部分的面积=$\frac{120×\pi×2^2}{360} - \frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{1}{2} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$。 (8分)