《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

8.「2023浙江衢州中考,★☆」如图所示的是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图,凹槽ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A,D时,恰好与BC边相切,则此餐盘的半径为10cm.

答案： 10

9.「2025江苏常州二十四中期中,★☆」如图,正方形ABCD的边长为6,E是DC的中点,F是BC边上的动点,连接EF,以点F为圆心,EF长为半径作$\odot F$.当$\odot F$与正方形ABCD的边相切时,BF的长为$\frac{15}{4}$或6−3√3.

答案： $\frac{15}{4}$或6−3√3

10.「2025江苏淮安盱眙月考,★☆」如图,在直角坐标系中,A点的坐标为$(-4,5)$,$\odot A$的半径为3,P为x轴上一动点,PB切$\odot A$于点B,则PB的最小值是4.

答案： 4

11.【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的几何解法：如图1,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,1)$、$B(-b,c)$,以AB为直径作$\odot P$.若$\odot P$交x轴于点$M(m,0)$、$N(n,0)$,则m、n为方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理得,$AM^{2}= 1^{2}+m^{2}$,$BM^{2}= c^{2}+(-b-m)^{2}$,$AB^{2}= (1-c)^{2}+b^{2}$.在$Rt△ABM$中,$AM^{2}+BM^{2}= AB^{2}$,所以$1^{2}+m^{2}+c^{2}+(-b-m)^{2}= (1-c)^{2}+b^{2}$,化简得$m^{2}+bm+c= 0$,同理可得n²+bn+c=0,所以m、n为方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程$x^{2}-3x-2= 0$的两根为横坐标的点M、N.
先在坐标系内找到A(0,1),B(3,−2),连接AB,分别以A、B为圆心,大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧,两弧交于点E,F,连接EF与AB交于点P,以P为圆心,AB长为直径画圆,该圆与x轴的交点即为M、N点.如图所示.
(3)已知点$A(0,1)$、$B(6,9)$,以AB为直径作$\odot C$.判断$\odot C$与x轴的位置关系,并说明理由.
⊙C与x轴相切.理由:由题意得x²−6x+9=0,∵b²−4ac=(−6)²−4×1×9=0,∴方程x²−6x+9=0有两个相等的实数根,∴⊙C与x轴只有一个交点,即⊙C与x轴相切
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点$A(0,a)$、$B(-b,c)$,若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M、N,则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是x²+bx+ac=0.

答案：
(1)连接AN,BN(图略).AN²=1²+n²,BN²=c²+(−b−n)²,AB²=(1−c)²+b²,在Rt△ABN中,AN²+BN²=AB²,
∴1²+n²+c²+(−b−n)²=(1−c)²+b²,化简得n²+bn+c=0,故答案为n²+bn+c=0.
(2)先在坐标系内找到A(0,1),B(3,−2),连接AB,分别以A、B为圆心,大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧,两弧交于点E,F,连接EF与AB交于点P,以P为圆心,AB长为直径画圆,该圆与x轴的交点即为M、N点.如图所示.
(3)⊙C与x轴相切.理由:由题意得x²−6x+9=0,
∵b²−4ac=(−6)²−4×1×9=0,
∴方程x²−6x+9=0有两个相等的实数根,
∴⊙C与x轴只有一个交点,即⊙C与x轴相切,
(4)x²+bx+ac=0.