《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

9.「2025 天津武清杨村八中月考,」如图所示,用长为 21 米的篱笆,一面利用墙 (墙的最大可用长度 $ a $ 为 10 米),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为便于进出,留了 3 道宽均为 1 米的门。设花圃的一边 $ A B $ 为 $ x $ 米,面积为 $ S $ 平方米,则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为$S = -3x^2 + 24x$,自变量 $ x $ 的取值范围为$\frac{14}{3} \leq x \lt 8$。

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的应用，根据题目条件，找出花圃的长和宽与$x$的关系，进而得出面积$S$与$x$的函数关系式，再根据墙的最大可用长度和篱笆的长度限制确定$x$的取值范围，
设花圃的一边$AB$为$x$米，由于有$3$道宽均为$1$米的门，且一面利用墙，所以矩形的另一边（即与墙平行的边）的长度为$(21 - 3x + 3)$米，化简得$(24 - 3x)$米，但需要注意，这里的长度不能超过墙的最大可用长度$a = 10$米，
根据矩形面积公式：面积 = 长$×$宽，可以得到花圃的面积$S$与$x$之间的函数解析式为：
$S = x(24 - 3x)$，
即$S = -3x^2 + 24x$，
接下来确定自变量$x$的取值范围，
由于与墙平行的边的长度不能超过墙的最大可用长度$a = 10$米，所以有：
$24 - 3x \leq 10$，
解这个不等式得到：
$x \geq \frac{14}{3}$，
另外，由于$AB$边和与$AB$边相邻的两边都由篱笆构成，且篱笆的总长为$21$米，减去$3$道门的宽度$3$米后，剩余$18$米用于构成$AB$边和与$AB$边相邻的两边，所以有：
$3x \lt 21+3$，
即$x \lt 8$，但由于$24 - 3x$必须大于$0$（因为长度不能为负），所以实际上$x$应小于$8$且使得$24 - 3x$大于$0$的最大值，即：
$x \lt \frac{24}{3} = 8$，且$x＞\frac{14-10}{3}= \frac{4}{3} $，但由于之前已经得出$x \geq \frac{14}{3}$，所以这里只需考虑$x \lt 8$，
综合以上两个条件，得到自变量$x$的取值范围为：
$\frac{14}{3} \leq x \lt 8$，
但考虑到$x$需要是实际可操作的长度，且当$x = 8$时，$24 - 3x = 0$，这与实际情况不符，所以$x$不能取到$8$，应取小于$8$的值，而由于$\frac{14}{3}$已经大于$\frac{4}{3} $且是满足条件的最小值，所以自变量$x$的取值范围仍为$\frac{14}{3} \leq x \lt 8$。
【答案】：
$S = -3x^2 + 24x$；$\frac{14}{3} \leq x \lt 8$

10. 新 代数推理「」关于 $ x $ 的函数 $ y = ( a ^ { 2 } + 4 a + 5 ) x ^ { 2 } + 3 a x + 1 $,甲说：“此函数不一定是二次函数。”乙说：“此函数一定是二次函数。”谁的说法正确？为什么？

答案： 【解析】：
首先，我们需要明确二次函数的定义：一个函数如果形如$y = ax^{2} + bx + c$，其中$a \neq 0$，则称这个函数为二次函数。
对于给定的函数$y = (a^{2} + 4a + 5)x^{2} + 3ax + 1$，我们需要判断其是否为二次函数，关键在于确定$a^{2} + 4a + 5$是否为零。
考虑$a^{2} + 4a + 5$，我们可以将其改写为$(a + 2)^{2} + 1$。
由于平方项$(a + 2)^{2}$始终非负，且加上1后一定大于0，所以$a^{2} + 4a + 5 = (a + 2)^{2} + 1 ＞ 0$。
因此，无论$a$取何值，$a^{2} + 4a + 5$都不可能为零，所以此函数一定是二次函数。
【答案】：
乙的说法正确。因为对于函数$y = (a^{2} + 4a + 5)x^{2} + 3ax + 1$，其二次项系数$a^{2} + 4a + 5 = (a + 2)^{2} + 1 ＞ 0$，无论$a$取何值，都不为零，所以此函数一定是二次函数。

11. 学科 易错题「」已知函数 $ y = ( a + 3 ) x ^ { a ^ { 2 } + a - 4 } + ( a + 2 ) x + 3 $。
(1) 当 $ a $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的二次函数？
(2) 当 $ a $ 为何值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？

答案：
(1) 解：由二次函数定义得：
$\begin{cases}a^2 + a - 4 = 2 \\a + 3 \neq 0\end{cases}$
解方程 $a^2 + a - 4 = 2$，即 $a^2 + a - 6 = 0$，因式分解得 $(a + 3)(a - 2) = 0$，解得 $a = -3$ 或 $a = 2$。
又 $a + 3 \neq 0$，即 $a \neq -3$，所以 $a = 2$。
(2) 解：分三种情况：
① $\begin{cases}a + 3 = 0 \\a + 2 \neq 0\end{cases}$，解得 $a = -3$；
② $\begin{cases}a^2 + a - 4 = 1 \\a + 3 + a + 2 \neq 0\end{cases}$，解方程 $a^2 + a - 5 = 0$，得 $a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$；
③ $\begin{cases}a^2 + a - 4 = 0 \\a + 2 \neq 0\end{cases}$，解方程 $a^2 + a - 4 = 0$，得 $a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$。
综上，$a = -3$ 或 $a = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$ 或 $a = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$。

12.「2024 山东滨州中考节选,」春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为 2 000 元,该影院每天售出的电影票数量 y (单位：张) 与售价 x (单位：元/张) 之间满足一次函数关系$ ( 30 \leq x \leq 80 ,$且 x 是整数),部分数据如下表所示：
|电影票售价 x / ( ) 元/张 ) |40|50|
|售出电影票数量 y / 张|164|124|
(1) 请求出 y 与 x 之间的函数关系式。
(2) 设该影院每天的利润 (利润 = 票房收入 - 运营成本) 为 w (单位：元),求 w 与 x 之间的函数关系式。

答案： 【解析】：
本题主要考察一次函数的求解以及利润函数的建立。
(1) 首先，我们需要利用给定的数据点来确定一次函数的参数。设$y = kx + b$，我们有两个点$(40, 164)$和$(50, 124)$，可以建立方程组来求解$k$和$b$。
$\begin{cases}40k + b = 164 \\50k + b = 124\end{cases}$
解这个方程组，我们可以找到$k$和$b$的值，从而确定$y$与$x$之间的函数关系。
(2) 接下来，我们需要建立利润函数。利润是票房收入减去运营成本，即$w = x \cdot y - 2000$。由于我们已经找到了$y$与$x$之间的函数关系，我们可以将这个关系代入利润函数中，从而得到$w$与$x$之间的函数关系。
【答案】：
(1) 解：设$y = kx + b$，
根据给定的数据点，我们可以建立以下方程组：
$\begin{cases}40k + b = 164 \\50k + b = 124\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}k = -4 \\b = 324\end{cases}$
所以，$y$与$x$之间的函数关系式为$y = -4x + 324$。
(2) 利润函数可以表示为$w = x \cdot y - 2000$，将$y = -4x + 324$代入，我们得到：
$w = x(-4x + 324) - 2000$
化简后得到：
$w = -4x^2 + 324x - 2000$

13. 新 课标 几何直观 2 条直线相交有 1 个交点,3 条直线相交最多有 3 个交点,4 条直线相交最多有 6 个交点,……,若有 $ n $ 条直线相交,交点最多有 $ m $ 个,求 $ m $ 关于 $ n $ 的函数表达式,并指出它是什么函数。

答案： 【解析】：
首先，我们观察题目中给出的直线数量与交点数量的关系：
2 条直线相交有 1 个交点；
3 条直线相交最多有 3 个交点，即 $1 + 2$；
4 条直线相交最多有 6 个交点，即 $1 + 2 + 3$；
...
由此，我们可以推断出 $n$ 条直线相交时，交点的最多数量 $m$ 是前 $n-1$ 个自然数的和，即 $m = 1 + 2 + 3 + \ldots + (n-1)$。
这是一个等差数列的求和问题，其和 $S$ 可以用公式 $S = \frac{n(n-1)}{2}$ 来表示。
因此，我们得到 $m$ 关于 $n$ 的函数表达式为 $m = \frac{n(n-1)}{2}$，这是一个二次函数。
【答案】：
$m = \frac{1}{2}n(n - 1)$，二次函数。