《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1. 「2023 江苏泰州中考」关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 的两根之和为-2.

答案： -2

2. 「2024 四川巴中中考」已知方程 $ x^{2}-2x + k = 0 $ 的一个根为 $ x = - 2 $,则方程的另一个根为x=4.

答案： x=4

3. 「2024 江苏常州正衡中学期中」关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+4x + m = 0 $ 的两个实数根都是负数,则实数 $ m $ 的值可以为2.(写出一个即可)

答案： 2（答案不唯一）

4. 「2024 江苏苏州吴江期中」设 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}^{2}+3x_{2}+3 = $11.

答案： 11

5. 「2024 四川遂宁中考」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0 $.
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9 $,求 $ m $ 的值.

答案： 解析
(1)
∵a=1,b=-(m+2),c=m-1,
∴b²-4ac=[-(m+2)]²-4×1×(m-1)=m²+4m+4-4m+4=m²+8＞0,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)
∵方程x²-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x₁,x₂,
∴x₁+x₂=m+2,x₁x₂=m-1.
∵x₁²+x₂²-x₁x₂=9,即(x₁+x₂)²-3x₁x₂=9,
∴(m+2)²-3(m-1)=9.整理,得m²+m-2=0.
∴(m+2)(m-1)=0.
∴m₁=-2,m₂=1.
∴m的值为-2或1.

6. 「2024 山东日照中考」已知实数 $ x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2}) $ 是关于 $ x $ 的方程 $ kx^{2}+2kx + 1 = 0(k\neq 0) $ 的两个根.若 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 2 $,则 $ k $ 的值为 (B)
A.1
B.- 1
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ -\frac{1}{2} $

答案： B

7. 「2024 浙江杭州锦绣育才教育集团月考」已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-x - 11 = 0 $ 的两个实数根,则代数式 $ x_{1}^{3}-11x_{1}+x_{2}^{2} $ 的值是23.

答案： 23

8. 「2024 山东滨州经开区三模」若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-14x + m = 0 $ 的两个实数根,且其面积为 24,则该菱形的边长为5.

答案： 5

9. 「2024 江苏南京建邺期中」设 $ x_{1},x_{2} $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx-(a + b)= 0(a,b $ 是常数) 的两个根.若 $ x_{1}x_{2}\lt 0 $,则 $ x_{1}+x_{2} $ 的取值范围是x₁+x₂＜1.

答案： x₁+x₂＜1

10. 「2025 江苏南京江宁高新中学月考」如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 满足 $ a + b + c = 0 $,那么称这样的方程为“美好方程”.例如,方程 $ x^{2}-4x + 3 = 0 $,$ 1 - 4 + 3 = 0 $,则这个方程就是“美好方程”.
(1) 下列方程是“美好方程”的是____.
① $ x^{2}+2x - 3 = 0 $；② $ x^{2}-3x = 0 $；③ $ x^{2}+1 = 0 $；④ $ x(x - 1)= 2(x - 1) $.
①④
(2) 求证：“美好方程” $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 总有两个实数根.
证明:
∵一元二次方程ax²+bx+c=0是“美好方程”,
∴a+b+c=0,
∴b=-(a+c),
∴b²-4ac=[-(a+c)]²-4ac=(a-c)²≥0,
∴“美好方程”ax²+bx+c=0总有两个实数根.
(3) 若“美好方程” $ (b - c)x^{2}+(c - a)x+(a - b)= 0 $ 有两个相等的实数根,求证：$ a + c = 2b $.
证明:
∵“美好方程”(b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,
∴(b-c)+(c-a)+(a-b)=0,(c-a)²-4(b-c)(a-b)=0,
∴c²-2ac+a²-4ab+4b²+4ac-4bc=0,
∴c²+2ac+a²-4ab-4bc+4b²=0,
∴(c+a)²-2(a+c)·(2b)+(2b)²=0,
∴(c+a-2b)²=0,
∴c+a-2b=0,
∴a+c=2b.

答案： 解析
(1)方程x²+2x-3=0,1+2-3=0,故方程①是“美好方程”;方程x²-3x=0,1-3=-2≠0,故方程②不是“美好方程”;方程x²+1=0,1+1=2≠0,故方程③不是“美好方程”;方程x(x-1)=2(x-1),整理,得x²-3x+2=0,1-3+2=0,故方程④是“美好方程”.故答案为①④.
(2)证明:
∵一元二次方程ax²+bx+c=0是“美好方程”,
∴a+b+c=0,
∴b=-(a+c),
∴b²-4ac=[-(a+c)]²-4ac=(a-c)²≥0,
∴“美好方程”ax²+bx+c=0总有两个实数根.
(3)证明:
∵“美好方程”(b-c)x²+(c-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,
∴(b-c)+(c-a)+(a-b)=0,(c-a)²-4(b-c)(a-b)=0,
∴c²-2ac+a²-4ab+4b²+4ac-4bc=0,
∴c²+2ac+a²-4ab-4bc+4b²=0,
∴(c+a)²-2(a+c)·(2b)+(2b)²=0,
∴(c+a-2b)²=0,
∴c+a-2b=0,
∴a+c=2b.

11. 「2024 江苏南通崇川期中」已知实数 $ m,n $ 满足 $ m^{2}-am + 1 = 0 $,$ n^{2}-an + 1 = 0 $,且 $ m\neq n $,若 $ a\geq 3 $,则代数式 $ (m - 1)^{2}+(n - 1)^{2} $ 的最小值是____3.

答案： 3