《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1. 学科多解法「2024 江苏盐城滨海期中」已知平面直角坐标系中的三个点分别为 $ A(1,-1) $、$ B(-2,5) $、$ C(4,-6) $,则 $ A $、$ B $、$ C $ 这三个点可以确定一个圆(填“可以”或“不可以”)。

答案： 可以

2. 小明不小心把爷爷心爱的紫砂壶摔碎了,他想给爷爷买一套口径一样的茶壶,但是碎片被奶奶打扫走了,只剩了一个碎片,其示意图如图所示,你能确定茶壶的半径吗？如果能,请作出图形。

答案：
能.如图所示,在圆弧上任取三点A、B、C,连接AC,BC,作线段AC的垂直平分线OD和线段BC的垂直平分线OE,两直线交于点O,连接OC,OC的长就是茶壶的半径.

3. 「2024 江苏无锡滨湖期中」已知 $ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,那么点 $ O $ 一定是 $ \triangle ABC $ 的(D)
A.三个顶角的平分线的交点
B.三边上的高的交点
C.三边的中线的交点
D.三边的垂直平分线的交点

答案： D

4. 「2025 江苏镇江新区期中」如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ A(0,3) $,点 $ B(2,1) $,点 $ C(2,-3) $,则 $ \triangle ABC $ 的外心坐标应是( )


A.$ (-2,-2) $
B.$ (-2,-1) $
C.$ (-1,-2) $
D.$ (-1,-1) $

答案：
B 分别作AB与BC的垂直平分线,两垂线的交点$O'$即为$\triangle ABC$的外心,如图,根据坐标可得$O'(-2,-1)$,故选B.

5. 「2024 江苏扬州仪征一模」如图,$ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,则 $ \angle 1+\angle 2+\angle 3= $____。

答案：
答案 $90^{\circ}$
解析 如图,

$\because OA=OB,\therefore \angle 3=\angle 4$,同理,$\angle 1=\angle 5$,$\angle 2=\angle 6$,$\because \angle 3+\angle 4+\angle 1+\angle 5+\angle 2+\angle 6=180^{\circ}$,$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3=90^{\circ}$.

6. 易错题「2025 江苏扬州宝应月考」在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ AC= 3 $,$ BC= 4 $,则它的外接圆的半径为____。

答案：
答案 $\frac{5}{2}$或2
解析 ①如图,当$\angle C=90^{\circ}$时,$\because BC=4$,$AC=3$,

$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,$\therefore Rt\triangle ABC$外接圆的半径为$\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$;
②如图,当$\angle A=90^{\circ}$时,$\because BC=4$,

$\therefore Rt\triangle ABC$外接圆的半径为$\frac{BC}{2}=2$.
综上所述,$Rt\triangle ABC$的外接圆的半径为$\frac{5}{2}$或2.

7. 「2023 江西中考」如图,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 均在直线 $ l $ 上,点 $ P $ 在直线 $ l $ 外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(D)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： D 根据过不在同一直线上的三点确定一个圆得,经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为6,故选D.

8. 「2025 江苏镇江丹徒期中」如图,$ A $、$ O $ 在网格中小正方形的顶点处,每个小正方形的边长为 1,在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)$ B $、$ C $,使 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 的外心,则 $ BC $ 的长度是( )


A.$ 3\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.4
D.$ \sqrt{17} $

答案：
A $\because$点O为$\triangle ABC$的外心,$\therefore OA=OB=OC$,点B和点C的位置如图所示,$\therefore BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$,故选A.

9. 「2025 江苏无锡新城中学月考」如图,线段 $ AB= 6 $,$ C $ 为线段 $ AB $ 上的一个动点,以 $ AC $、$ BC $ 为边作等边 $ \triangle ACD $ 和等边 $ \triangle BCE $,$ \odot O $ 外接于 $ \triangle CDE $,则 $ \odot O $ 半径的最小值为( )


A.6
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.3

答案：
B 如图,分别作$\angle DAB$与$\angle ABE$的平分线,交点为P.$\because \triangle ACD$和$\triangle BCE$都是等边三角形,

$\therefore AP$垂直平分CD,$BP$垂直平分CE.又$\because$圆心O在CD、CE的垂直平分线上,$\therefore$交点P与圆心O重合,即圆心O是一个定点.连接OC,若半径OC最短,则$OC\perp AB$.$\therefore OA=OB$,$\therefore AC=BC=3$,在$Rt\triangle AOC$中,$\angle OAC=30^{\circ}$,$\therefore OA=2OC$.$\because OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$,$\therefore 3OC^{2}=9$,$\therefore OC=\sqrt{3}$,$\therefore \odot O$半径的最小值为$\sqrt{3}$.故选B.

10. 「2024 江苏宿迁沭阳如东实验学校月考」如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB= AC= 2\sqrt{10} $,$ BC= 4 $,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,则 $ \odot O $ 的半径为____。

答案：
答案 $\frac{10}{3}$
解析 如图,过点A作$AD\perp BC$,垂足为D,连接OB、OC,

$\because AB=AC$,$AD\perp BC$,$\therefore AD$垂直平分BC,$\because OB=OC$,$\therefore$点O在BC 的垂直平分线上,即O在AD上,$\because BC=4$,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$,在$Rt\triangle ABD$中,$\angle ADB=90^{\circ}$,$AB=2\sqrt{10}$,$\therefore AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=6$,设$OA=OB=r$,则$OD=6-r$.在$Rt\triangle OBD$中,$\angle ODB=90^{\circ}$,$\therefore OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$,即$(6-r)^{2}+2^{2}=r^{2}$,解得$r=\frac{10}{3}$,即$\odot O$ 的半径为$\frac{10}{3}$.