《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

9. 「2025 江苏无锡江阴期中」如图,点 A、B、C、D 在$\odot O$上,且$\widehat {AC}= \widehat {BD}$,若$∠BOD= 84^{\circ }$,则$∠ACO$的度数为(D)

A.$42^{\circ }$
B.$44^{\circ }$
C.$46^{\circ }$
D.$48^{\circ }$

答案： D

10. 「2025 江苏徐州新沂期中」如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠C= 67.5^{\circ }$,以 AB 为直径的半圆与 BC,AC 分别相交于点 D,E,则弧 AE 的度数为(C)
A.$40^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$100^{\circ }$

答案： C

11. 「2024 江苏徐州铜山期中」如图,点 A、B、C、D 在$\odot O$上,且$\widehat {AD}= \widehat {BC}$,E 是 AB 延长线上一点,且$BE= AB$,F 是 EC 中点,若$BF= 6cm$,则$BD= $12cm.

答案： 【解析】：本题可根据圆心角、弧、弦之间的关系以及三角形中位线的性质来求解$BD$的长度。
已知$\widehat {AD}= \widehat {BC}$，根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，可得$AD = BC$。
因为$AB = BE$，所以$AB + BC = BE + BC$，即$AC = CE$。
又因为$F$是$EC$中点，所以$F$也是$AE$的中点（等腰三角形三线合一），那么$BF$是$\triangle ACE$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，可得$BF=\frac{1}{2}AC$，同时$BD = AC$（因为$\widehat {AD}= \widehat {BC}$，等弧所对弦相等）。
已知$BF = 6cm$，由$BD = AC = 2BF$，可求出$BD$的长度。
【答案】：解：
∵$\widehat {AD}= \widehat {BC}$
∴$AD = BC$
∵$AB = BE$
∴$AC = CE$
∵$F$是$EC$中点
∴$F$是$AE$的中点
∴$BF$是$\triangle ACE$的中位线
∴$BD = AC = 2BF$
∵$BF = 6cm$
∴$BD = 12cm$
故答案为$12$。

12. 「2025 江苏宿迁沭阳期中」如图,AB,CD 是$\odot O$的两条弦,且$AB= CD$,E 是弧 AC 的中点.求证:$BE= DE$.

答案： 证明　【证法一】
∵AB = CD，
∴⌢AB = ⌢CD
∵E是弧AC的中点，
∴⌢AE = ⌢CE，
∴⌢AB + ⌢AE = ⌢CD + ⌢CE，
∴⌢BE = ⌢DE，
∴BE = DE。【证法二】如图，连接OA，OC，OB，ODOE。
∵AB = CD，E弧AC中点
∴∠AOB = ∠COD，∠AOE = ∠COE，
∴∠AOB + ∠AOE = ∠COD + ∠COE
∴∠BOE = ∠DOE，
∴BE = DE。

13. 「2025 江苏镇江宜城中学月考」如图所示,以$□ ABCD$的顶点 A 为圆心,AB 长为半径作圆,分别交 AD,BC 于点 E,F,延长 BA 交$\odot A$于 G.
(1)求证:$\widehat {GE}= \widehat {EF}$.
(2)若$\widehat {BF}的度数为70^{\circ }$,求$∠C$的度数.

答案： 解析　
(1)证明：连接AF。
∵A为圆心，
∴AB = AF
∴∠ABF = ∠AFB
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB = ∠DAF，∠GAD = ∠ABF，
∴∠DAF = ∠GAD，
∴⌢GE = ⌢EF。
(2)
∵⌢BF度数为70°，
∴∠BAF = 70°
∵AB = AF，
∴∠B = ∠AFB = $\frac{1}{2}$(180°−∠BAF) = 55°
∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠C = 180°−∠B = 125°。

14. 如图,在$\odot O$中,点 C 是优弧 ACB 的中点,D、E 分别是 OA、OB 上的点,且$AD= BE$,弦 CM、CN 分别过点 D、E.
(1)求证:$CD= CE$.
(2)求证:$\widehat {AM}= \widehat {BN}$.

答案： 证明　
(1)如图，连接OC；
∵点C是优弧ACB中点
∴⌢AC = ⌢BC，
∴∠COD = ∠COE
∵OA = OB，AD = BE，
∴OD = OE
∵OC = OC，
∴△COD≌△COE (SAS)，
∴CD = CE。
(2)如图，连接OM，ON，由
(1)知△COD≌△COE，
∴∠CDO = ∠CEO，∠OCD = ∠OCE
∵OC = OM = ON，
∴∠OCM = ∠OMC，∠OCN = ∠ONC，
∴∠OMD = ∠ONE
∵∠ODC = ∠OMD + ∠MOD，∠CEO = ∠ONE + ∠EON，
∴∠MOD = ∠EON，
∴⌢AM = ⌢BN。