《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1. 抛物线$y= \sqrt{5}x^{2}$,$y= -2x^{2}$,$y= \frac{1}{2}x^{2}$共有的性质是(B)
A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.都有最高点
D.$y随x$的增大而增大

答案： B 这三个函数可以用$y=ax^{2}$来表示,它们的共同特征是图像关于y轴对称,且顶点为原点.故选B.

2. 若二次函数$y = ax^{2}$的图像经过点P(-2,4),则该图像必经过点(A)
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

答案： A
∵二次函数$y=ax^{2}$图像的对称轴为y轴,
∴若图像经过点$P(-2,4)$,则该图像必经过点$(2,4)$.故选A.

3. 「2024广东中考」点$(0,y_{1})$,$(1,y_{2})$,$(2,y_{3})都在二次函数y = x^{2}$的图像上,则(A)
A.$y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$
B.$y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3}$
C.$y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2}$
D.$y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2}$

答案： A
∵二次函数$y=x^{2}$的图像开口向上,且对称轴为y轴,
∴当$x≥0$时,y随x的增大而增大,$\because 0＜1＜2,\therefore y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$,故选A.

4. 「2024广松汕头潮南校级期末」已知二次函数$y= (2 - k)x^{2}$,当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而增大,则实数$k$的取值范围是$k＜2$。

答案： 答案 $k＜2$
解析
∵二次函数$y=(2-k)x^{2}$,当$x＞0$时,y随x的增大而增大,$\therefore 2-k＞0,\therefore k＜2.$

5. 「2025江苏苏州吴江期中」二次函数$y = x^{2}$,当$-2 \leq x \leq 3$时,$y$的取值范围是$0≤y≤9$。

答案： 答案 $0≤y≤9$
解析 二次函数$y=x^{2}$图像的对称轴为直线$x=0$,开口向上,
∴当$x＜0$时,y随x的增大而减小;当$x＞0$时,y随x的增大而增大,
∴当$-2≤x≤0$时,$x=-2$,y取最大值,最大值为4;$x=0$时,y取最小值,最小值为0;
当$0≤x≤3$时,$x=3$,y取最大值为9;$x=0$时,y取最小值为0,
∴当$-2≤x≤3$时,$0≤y≤9,$
故答案为$0≤y≤9.$

6. 「2025江苏南通崇川启秀中学月考」在同一平面直角坐标系中,作出函数①$y= -3x^{2}$,②$y= -\frac{1}{2}x^{2}$,③$y= -x^{2}$的图像,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②(填序号)。

答案： 答案 ①③②
解析 $\because |-3|＞|-1|＞|-\frac {1}{2}|,$
∴抛物线②$y=-\frac {1}{2}x^{2}$的开口最大,
抛物线①$y=-3x^{2}$的开口最小.
故答案为①③②.

7. 「2025广东江门江海月考」已知$a \neq 0$,在同一直角坐标系中,函数$y = ax与y = ax^{2}$的图像有可能是(C)

答案： C 当$a＞0$时,函数$y=ax$的图像经过第一、三象限,函数$y=ax^{2}$的图像开口向上,但两函数图像都经过点$(1,a)$,无选项符合;当$a＜0$时,函数$y=ax$的图像经过第二、四象限,函数$y=ax^{2}$的图像开口向下,且两函数图像都经过点$(1,a)$,选项C符合.故选C.

8. 「」如图,正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1)$,$(3,1)$,$(3,3)$,$(1,3)$。若抛物线$y = ax^{2}$与正方形有公共点,则实数$a$的取值范围是(A)
A.$\frac{1}{9} \leq a \leq 3$
B.$\frac{1}{9} \leq a \leq 1$
C.$\frac{1}{3} \leq a \leq 3$
D.$\frac{1}{3} \leq a \leq 1$

答案： A 当抛物线经过点$(1,3)$时,$a=3;$
当抛物线经过点$(3,1)$时,$a=\frac {1}{9}.$
观察题图可知,当抛物线$y=ax^{2}$与正方形有公共点时,$\frac {1}{9}≤a≤3,$
故选A.

9. 「2024江苏苏州工业园区星海实验中学月考」二次函数$y= \sqrt{3}x^{2}$的图像如图,点$A在y$轴的正半轴上,点$B$,$C在二次函数y= \sqrt{3}x^{2}$的图像上,四边形$OBAC$为菱形,且$\angle ACO = 120^{\circ}$,则菱形$OBAC$的面积为______。

答案：
答案 $2\sqrt {3}$
解析 如图,连接BC交OA于D,

∵四边形OBAC为菱形,$\therefore BC⊥OA,\because ∠ACO=120^{\circ },\therefore ∠OCD=60^{\circ },\therefore ∠COD=30^{\circ },\therefore OC=2CD,OD=\sqrt {3}CD$,设$CD=t$,则$OD=\sqrt {3}t,\therefore C(-t,\sqrt {3}t)$,把$C(-t,\sqrt {3}t)$代入$y=\sqrt {3}x^{2}$得$\sqrt {3}t^{2}=\sqrt {3}t$,解得$t_{1}=0$(舍去),$t_{2}=1,\therefore CD=1,OD=\sqrt {3},\therefore BC=2CD=2,OA=2OD=2\sqrt {3},$
∴菱形OBAC的面积$=\frac {1}{2}×2×2\sqrt {3}=2\sqrt {3}.$

10. 「2024江苏淮安北京路中学月考」如图,直线$AB$：$y = kx + 3过点(-2,4)且与抛物线y= \frac{1}{2}x^{2}交于A$,$B$两点。
(1) 直接写出点$A$、点$B$的坐标。
(2) 在直线$AB的下方的抛物线上存在点P$,使$\triangle ABP的面积为5$,求点$P$的坐标。
]

答案：
解析
(1)把$(-2,4)$代入$y=kx+3$,得$4=-2k+3$,解得$k=-\frac {1}{2}$,
∴直线AB的解析式为$y=-\frac {1}{2}x+3$.令$\frac {1}{2}x^{2}=-\frac {1}{2}x+3$,解得$x=-3$或$x=2$.
∴点A的坐标为$(-3,\frac {9}{2})$,点B的坐标为$(2,2).$
(2)过点P作直线$PQ// y$轴,交AB于点Q,过点A作$AM⊥PQ$,垂足为M,过点B作$BN⊥PQ$,垂足为N,如图所示.

设点P的横坐标为a,则点Q的横坐标为a,
$\therefore y_{P}=\frac {1}{2}a^{2},y_{Q}=-\frac {1}{2}a+3$.
∵点P在直线AB下方,
$\therefore PQ=y_{Q}-y_{P}=-\frac {1}{2}a+3-\frac {1}{2}a^{2}.$
$\because AM+NB=a-(-3)+2-a=5,$
$\therefore S_{\triangle APB}=S_{\triangle APQ}+S_{\triangle BPQ}=\frac {1}{2}PQ\cdot AM+\frac {1}{2}PQ\cdot BN=\frac {1}{2}PQ\cdot (AM+BN)=\frac {1}{2}×(-\frac {1}{2}a+3-\frac {1}{2}a^{2})×5=5.$
整理得$a^{2}+a-2=0$,解得$a_{1}=-2,a_{2}=1.$
当$a=-2$时,$y_{P}=\frac {1}{2}×(-2)^{2}=2$.此时点P的坐标为$(-2,2)$.当$a=1$时,$y_{P}=\frac {1}{2}×1^{2}=\frac {1}{2}$.此时点P的坐标为$(1,\frac {1}{2})$.
∴符合要求的点P的坐标为$(-2,2)$或$(1,\frac {1}{2}).$