《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.学科转化思想 [2024甘肃临夏州中考节选]在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^2+bx+c$与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ的长是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
1.解析　
(1)
∵抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，
∴$\begin{cases}-1+b+c=0 \\ -9 + 3b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2 \\ c = 3\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x+3$。
(2)存在；如图，过点P作$PN⊥AB$于点N，交BC于点M。

当$x = 0$时，$y = 3$，
∴$C(0,3)$。
∵$B(3,0)$，$C(0,3)$，
∴直线BC的解析式为$y=-x + 3$。
∵$OB = OC$，$∠BOC = 90^{\circ}$，
∴$∠CBO = 45^{\circ}$。
∵$∠MNB = 90^{\circ}$，
∴$∠PMQ = ∠NMB = 45^{\circ}$。
∵$PQ⊥BC$，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴$PM = \sqrt{2}PQ$，
∴PM的值最大时，PQ的值最大。
设$P(m,-m^{2}+2m+3)$，则$M(m,-m + 3)$，
∴$PM=-m^{2}+2m+3-(-m + 3)=-(m - \frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$。
∵$-1 ＜ 0$，
∴当$m = \frac{3}{2}$时，PM的值最大，为$\frac{9}{4}$。
∴PQ的最大值$=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8}$，此时$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。

2.学科将军饮马模型 [2024四川宜宾中考改编]如图,抛物线$y= x^2+bx+c$与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.
(2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线对称轴上是否存在一动点F,使得|BF-CF|的值最大?若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.

答案：
2.解析　
(1)把$A(-1,0)$，$C(0,-4)$代入$y=x^{2}+bx+c$得$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\ c = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -3 \\ c = -4\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=x^{2}-3x - 4$。
∵$y=x^{2}-3x - 4=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{25}{4}$，
∴抛物线顶点D的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$。
(2)在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小。在$y=x^{2}-3x - 4$中，令$y = 0$，得$0=x^{2}-3x - 4$，
解得$x = 4$或$x = -1$，
∴$B(4,0)$。
如图，连接BD，则$BD=\sqrt{(4 - \frac{3}{2})^{2}+(\frac{25}{4})^{2}}=\frac{5\sqrt{29}}{4}$，
∴若使△BDM的周长最小，只需使$DM + BM$的值最小。
作$D(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$关于y轴的对称点$D'(-\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$。
连接$BD'$交y轴于M，连接DM，
则$DM = D'M$，
∴$DM + BM = D'M + BM = BD'$，
此时$DM + BM$的值最小，最小值为$BD'$的长，此时△BDM的周长也最小。
由$B(4,0)$，$D'(-\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$得直线$BD'$的解析式为$y=\frac{25}{22}x-\frac{50}{11}$，令$x = 0$得$y = -\frac{50}{11}$，
∴点M的坐标为$(0,-\frac{50}{11})$。

(3)存在。
连接AC。
∵点B关于对称轴的对称点为$A(-1,0)$，
∴$|BF - CF| = |AF - CF|≤AC$，
∴当A，C，F三点共线时，$|BF - CF|$有最大值，为AC的长。
由$A(-1,0)$，$C(0,-4)$，得直线AC的表达式为$y=-4x - 4$，
当$x = \frac{3}{2}$时，$y = -10$，故点$F(\frac{3}{2},-10)$。