《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.定义:从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似,那么我们称这条线段为原三角形的相似线,记此小三角形与原三角形的相似比为 k.
(1)【理解】如图 1,$△ABC$中,已知 D 是 AC 边上一点,$∠CBD= ∠A$. 求证:BD 是$△ABC$的相似线.
(2)【探究】如图 2,$△ABC$中,$AB= 4,BC= 2,AC= 2\sqrt {7}$. 请用尺规作图法在平面内找一点 D,使 BC 是以 A,D 为其中两个顶点的三角形的相似线,并直接写出 k 的值.(保留作图痕迹)
(3)【应用】如图 3,扇形 AOB 中,$∠AOB= 90^{\circ },AO= OB= 2$,C,D 分别是 OA,OB 的中点,P 是弧 AB 上的一个动点,求$PC+2PD$的最小值.

答案：

(1)证明:
∵∠A=∠CBD,且∠C=∠C,
∴△ACB∽△BCD,
∴BD是△ABC的相似线.
(2)①如图,作∠ACD=∠ABC,交AB的延长线于点D,

∵∠A=∠A,∠ACD=∠ABC,
∴△ABC∽△ACD,
∴BC是△ADC的相似线,k=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
②如图,作∠CBD=∠A,交AC的延长线于点D,

∵∠CBD=∠A,∠D=∠D,
∴△CBD∽△BAD,
∴BC是△ABD的相似线,k=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.
③如图,作∠BCD=∠A,交AB的延长线于点D,

∵∠BCD=∠A,∠CDB=∠ADC,
∴△CBD∽△ACD,
∴BC是△ADC的相似线,k=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$.
综上所述，k的值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$或$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{7}}{7}$.
(3)如图,延长OB到E,使BE=OB,连接EC,EP,OP,

∵AO=OB=2,C,D分别是OA,OB的中点,
∴OE=4,OP=2,OD=OC=1,
∴$\frac{OD}{OP}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{OP}{OE}$,又∠DOP=∠EOP,
∴△ODP∽△OPE,
∴$\frac{DP}{EP}$=$\frac{OP}{OE}$=$\frac{1}{2}$.
∴EP=2DP,
∴PC+2PD=PC+EP,
∴当E,P,C三点共线时,PC+2PD的值最小,
∴PC+2PD的最小值=$\sqrt{1^2+4^2}$=$\sqrt{17}$.

2.「2025 上海黄浦期中」在平面直角坐标系中,把一条线段绕其一个端点顺时针旋转,并把这条线段伸长或缩短,称这样的运动叫做线段的“旋似”,经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”,新线段长和原线段长的比值为“旋似比”.平面直角坐标系 xOy 中有一点$A(-2,6)$,把线段 OA 绕点 O 做“旋似”运动,点 A 的对应点是点 B,若“旋似角”为$90^{\circ }.$
(1)当“旋似比”为$\frac {3}{2}$时,直接写出点 B 的坐标.
(2)过点 B 作$BD⊥x$轴,点 D 为垂足,连接 AB,若$△ABO与△BOD$相似,求此时点 B 的坐标.
(3)当“旋似比”为$\frac {1}{2}$时,设线段 AB 与 y 轴交于点 E,点 F 是 y 轴上一点,且满足$∠BFO+∠BOE= 135^{\circ }$,求点 F 的坐标.

答案：

(1)如图1所示,过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为E,D,由题意可得∠AOB=90°,$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{2}$,
∴∠AOE+∠BOD=90°,又
∵∠AOE+∠OAE=90°,
∴∠BOD=∠OAE.又
∵∠AEO=∠BDO=90°,
∴△AEO∽△ODB,
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{BD}{OE}$=$\frac{3}{2}$,
∵点A(-2,6),
∴AE=6,EO=2,
∴OD=9,BD=3.故点B的坐标为(9,3).

(2)如图2所示,过点A作AE⊥x轴,垂足为E.由
(1)可得△AOE∽△OBD,
∴$\frac{OE}{BD}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{AO}{OB}$,
∴$\frac{BD}{OD}$=$\frac{OE}{AE}$=$\frac{1}{3}$,
∵∠AOB=∠ODB=90°,
∴若△BOD∽△ABO,则$\frac{BD}{OD}$=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{OE}{BD}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{1}{3}$,
∵OE=2,AE=6,
∴BD=6,OD=18,
∴B(18,6).若△BOD∽△BAO,则$\frac{BD}{OD}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{BD}{OE}$=$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{3}$,
∵OE=2,AE=6,
∴BD=$\frac{2}{3}$,OD=2,
∴B$(2,\frac{2}{3})$.综上,点B的坐标为$(2,\frac{2}{3})$或(18,6).
(3)当“旋似比”为$\frac{1}{2}$时，可得点B的坐标为(3,1),如图所示，延长AB交x轴于点G,连接BF,设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),将A,B两点坐标代入可得$\begin{cases}-2k+b=6, \\ 3k+b=1, \end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\ b=4. \end{cases}$
∴直线AB的解析式为y=-x+4,
∴点E的坐标为(0,4),点G的坐标为(4,0),
∴OG=OE,
∴∠OEB=45°,
∴∠OBE+∠BOE=135°,又
∵∠BFO+∠BOE=135°,
∴∠OBE=∠BFO,若点F在y轴负半轴上,
∵∠OEB=∠BEF,∠OBE=∠BFO,
∴△EOB∽△EBF,
∴$\frac{EB}{EO}$=$\frac{EF}{EB}$,
∴$EB^2=EO\cdot EF$,即$(0-3)^2+(4-1)^2=4EF$,解得$EF=\frac{9}{2}$,
∴$OF=EF-OE=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$,
∴F点坐标为$(0,-\frac{1}{2})$;若点F'在y轴正半轴上,同理可证△OBE∽△OF'B,
∴$\frac{OB}{OE}$=$\frac{OF'}{OB}$,
∴$OB^2=EO\cdot OF'$,即$1^2+3^2=4OF'$,
∴$OF'=\frac{5}{2}$,
∴F'点坐标为$(0,\frac{5}{2})$.综上,F点的坐标为$(0,\frac{5}{2})$或$(0,-\frac{1}{2})$.