《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

9. [2022江苏南京中考,★☆☆]如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,它的3个外角$∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1:2:4$,则$∠D= $______$^{\circ }$.

72

答案： 72

10. [2025江苏扬州仪征实验中学月考,★☆☆]如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠ABC= 60^{\circ }$,对角线DB平分$∠ADC$.
(1)求证:$\triangle ABC$是等边三角形.
(2)若$AD= 2,DC= 3$,求$\triangle ABC$的周长.

答案： （1）证明:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC=60°,
∴∠ADC=120°,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB=60°,
∴∠ACB=∠ADB=60°,∠BAC=∠CDB=60°,
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形（2）如图,过点A作AE⊥CD于点E,
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠ADC=180°−∠ABC=120°,
∴∠ADE=60°,
∴∠DAE=30°,
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1,
∴AE=$\sqrt{AD^2−DE^2}$=$\sqrt{3}$,
∵CD=3,
∴CE=CD+DE=3+1=4,在Rt△AEC中,∠AED=90°,
∴AC=$\sqrt{AE^2+CE^2}$=$\sqrt{19}$,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=$\sqrt{19}$,
∴△ABC的周长为3$\sqrt{19}$

11. [2023北京中考,★☆☆]如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分$∠ABC,∠BAC= ∠ADB$.
(1)求证:DB平分$∠ADC$,并求$∠BAD$的大小.
(2)过点C作$CF// AD$交AB的延长线于点F,若$AC= AD,BF= 2$,求此圆的半径.

答案： （1）证明:
∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°−90°=90°.（2）
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°,
∵∠BAD=90°,
∴BD是圆的直径,
∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD,
∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°,
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°,
∵CF//AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°,
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵∠FBC+∠ABC=180°,
∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴∠BCF=30°,
∴BC=2BF=4,
∵BD是圆的直径，
∴∠BCD=90°,
∵∠BDC=30°,
∴BD=2BC=8,
∴此圆的半径是4.

12. 新课标推理能力 如图1,在$\odot O$中,弦AD平分圆周角$∠BAC$,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”,如图2,四边形ABCD内接于$\odot O,AB= BC$.
(1)证明:图2的圆中存在“爪形D”.
(2)在图2中,若$∠ADC= 120^{\circ }$,求证:$AD+CD= BD$.
(3)如图3,四边形ABCD内接于$\odot O$,其中$AB= BC,AD⊥DC$,线段AD、CD、BD之间满足什么数量关系?请写出你的猜想,不需要证明.

答案： （1）证明:
∵AB=BC,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB平分圆周角∠ADC,
∴圆中存在“爪形D".（2）证明:如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE.
∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,
∴∠A=∠ECB.又
∵AD=CE,AB=CB,
∴△BAD≌△BCE(SAS),
∴BD=BE,∠E=∠ADB.
∵∠ADC=∠ADB+∠BDE=120°,
∴∠E+∠BDE=120°,
∴∠DBE=180°-(∠E+∠BDE)=60°,又
∵BD=BE,
∴△BDE是等边三角形,
∴DE=BD,
∴AD + CD=BD.（3）AD+CD=$\sqrt{2}$BD.提示:延长DC至点E,使得CE=AD,连接BE,推出△BAD≌△BCE及△BDE为等腰直角三角形.