《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

10.「2024江苏盐城东台期中」在矩形ABCD中,$AB= 3,BC= 4$,点M是平面内一动点,且满足$BM= 2$,N为MD的中点,点M运动过程中线段CN长度的取值范围是$\frac{3}{2}$≤CN≤$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$≤CN≤$\frac{7}{2}$

11.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A、B、C(网格中小正方形的边长均为1).
(1)请在图中标出圆心P的位置,点P的坐标为(2,−1),$\odot P$的半径为2$\sqrt{5}$.
(2)判断点$M(-1,1)与\odot P$的位置关系.
点M在⊙P内
(3)若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面圆的半径.
该圆锥底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
(4)连接BC,将线段BC绕点P旋转一周,求线段BC扫过的面积.
线段BC扫过的面积为2π

答案： 解析
(1)如图,点P即为所作,点P的坐标为(2,−1),PA=$\sqrt{2²+4²}$=2$\sqrt{5}$,即⊙P的半径为2$\sqrt{5}$.故答案为(2,−1);2$\sqrt{5}$.
(2)连接PM(图略).
∵P(2,−1),M(−1,1),
∴PM=$\sqrt{(2+1)²+(1+1)²}$=$\sqrt{13}$,
∵$\sqrt{13}$＜$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$,
∴PM的长小于⊙P的半径,
∴点M在⊙P内.
(3)
∵PA=PC=2$\sqrt{5}$,AC=$\sqrt{2²+6²}$=2$\sqrt{10}$,
∴PA²+PC²=AC²,
∴△PAC为等腰直角三角形,∠APC=90°,设该圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得2πr=$\frac{90×π×2\sqrt{5}}{180}$,解得r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.故该圆锥底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(4)设BC的中点为E,
∴E(5,2),
∴PE=3$\sqrt{2}$,易知线段BC扫过的面积是以点P为圆心,PE、PC长分别为半径的圆环面积,
∴线段BC扫过的面积=π×(PC²−PE²)=2π.

12.「2025江苏淮安淮阴月考」(14分)如图1,AB是$\odot O$的直径,点C在AB的延长线上,$AB= 4,BC= 2$,P是$\odot O$上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求$\triangle OPC$的最大面积.
(2)求$∠OCP$的最大度数.
(3)如图2,延长PO交$\odot O$于点D,连接DB,当$CP= DB$时,求证:CP是$\odot O$的切线.

答案： 解析
(1)
∵AB=4,
∴OB=2,
∵BC=2,
∴OC=OB+BC=4.在△OPC中,设OC边上的高为h,
∴S△OPC=$\frac{1}{2}$OC·h=2h,
∴当h最大时,S△OPC取得最大值.观察图形,当OP⊥OC时,h最大,此时h=半径=2,
∴S△OPC的最大值=2×2=4.
(2)当PC与⊙O相切时,∠OCP的度数最大,连接PB,
∵PC与⊙O相切,
∴∠OPC=90°,
∵OB=BC=2,
∴PB=OB.
∵OP=OB,
∴△POB是等边三角形,
∴∠POC=60°,
∴∠OCP=30°,即∠OCP的最大度数为30°.
(3)证明:连接AP,BP.
∵OA=OP=OD=OB,
∴∠A=∠APD,∠D=∠ABD,
∵弧BP=弧BP,
∴∠A=∠D,
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD,
∴弧AD=弧PB,
∴弧AP=弧BD,
∴AP=BD,
∵CP=DB,
∴AP=CP,
∴∠A=∠C,在△APB与△CPO中,{AP=CP,∠A=∠C,AB=CO,}
∴△APB≌△CPO(SAS),
∴∠APB=∠OPC,
∵AB是直径,
∴∠APB=90°,
∴∠OPC=90°,
∴DP⊥PC,
∵DP经过圆心,
∴PC是⊙O的切线.

13.「2025江苏南京玄武期中」(14分)“等弦”的探究.
【尝试发现】
(1)如图①,在$\odot O$中,AB,CD是弦,且$AB= CD$.由此,你能发现什么?从小明、小红两位同学所发现的结论中,选择一个完成证明.

①选择小明.证明:如图1,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F,连接OA、OC,∵OE⊥AB,且OE过圆心O,∴AE=$\frac{1}{2}$AB,在Rt△OAE中,OE=$\sqrt{OA²−AE²}$,同理CF=$\frac{1}{2}$CD,OF=$\sqrt{OC²−CF²}$,∵AB=CD,∴AE=CF,又∵OA=OC,∴OE=OF,即O到AB、CD的距离相等.②选择小红.证明:如图2,延长AB,CD交于点P,连接AC,∵AB=CD,∴弧AB=弧CD,∴弧AB+弧BD=弧CD+弧BD,即弧AD=弧CB,∴∠C=∠A,∴PA=PC.任选一个给出证明即可.
【问题解决】
(2)如图②,已知$\triangle ABC,\odot O与\triangle ABC$各边都相交且所形成的弦的长度均相等.
(i)在图②中,用直尺和圆规作出一个满足条件的$\odot O$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
如图所示,作法:作∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,以O为圆心,适当长度为半径作⊙O,与△ABC相交,⊙O即为所求.(ii)若$AB= 15,BC= 14,AC= 13,\odot O$的半径为r,则r的取值范围是______.
4＜r≤2$\sqrt{13}$
【应用设计】
(3)如图③,某城市有一个圆形人工湖$\odot O$,已知直线型道路AB穿过人工湖,其中弦MN为湖中桥.现规划利用AB段修建四边形观湖路ABCD,新修建的三条道路BC,CD,DA均穿过人工湖$\odot O$,被$\odot O$所截得的弦为湖中桥(三条弦互不相交),且湖中桥长度均与MN相等.在图③中,用直尺和圆规作出周长最短的观湖路ABCD.(要求:保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
如图,四边形ABCD即为所求.作法:①过点O作OP⊥AB于点P,垂足为P,以点O为圆心,OP长为半径作小⊙O;②以点A为圆心,AP长为半径作弧交小⊙O于点G,以点B为圆心,BP长为半径作弧交小⊙O于点H;③连接AG、BH并延长交于点E,连接OE,交小⊙O于点F;④过点F作OE的垂线,分别交AE、BE于点D、C,则四边形ABCD即为所求.(答案不唯一,合理即可)

答案： 解析
(1)①选择小明.证明:如图1,过点O分别作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E、F,连接OA、OC,
∵OE⊥AB,且OE过圆心O,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,在Rt△OAE中,OE=$\sqrt{OA²−AE²}$,同理CF=$\frac{1}{2}$CD,OF=$\sqrt{OC²−CF²}$,
∵AB=CD,
∴AE=CF,又
∵OA=OC,
∴OE=OF,即O到AB、CD的距离相等.②选择小红.证明:如图2,延长AB,CD交于点P,连接AC,
∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴弧AB+弧BD=弧CD+弧BD,即弧AD=弧CB,
∴∠C=∠A,
∴PA=PC.任选一个给出证明即可.
(2)(i)如图所示,作法:作∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,以O为圆心,适当长度为半径作⊙O,与△ABC相交,⊙O即为所求.(ii)4＜r≤2$\sqrt{13}$.
(3)如图,四边形ABCD即为所求.作法:①过点O作OP⊥AB于点P,垂足为P,以点O为圆心,OP长为半径作小⊙O;②以点A为圆心,AP长为半径作弧交小⊙O于点G,以点B为圆心,BP长为半径作弧交小⊙O于点H;③连接AG、BH并延长交于点E,连接OE,交小⊙O于点F;④过点F作OE的垂线,分别交AE、BE于点D、C,则四边形ABCD即为所求.(答案不唯一,合理即可)