《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.「2024 北京中考」如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,OD 平分∠AOC.
(1)求证：OD//BC.
(2)延长 DO 交⊙O 于点 E,连接 CE 交 OB 于点 F,过点 B 作⊙O 的切线交 DE 的延长线于点 P.若$\frac{OF}{BF}= \frac{5}{6}$,PE = 1,求⊙O 的半径.

答案：
解析　
(1)证明:如图,连接AC交OD于H,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,
∴∠AHO=90°.
∴∠ACB=∠AHO.
∴OD//BC.
(2)如图,由
(1)知OE//BC,
∴△OEF∽△BCF,
∴ $\frac{OE}{BC}=\frac{OF}{BF}=\frac{5}{6}$，
∴设OE=5x,BC=6x,
∵OH//BC，
∴ $\frac{OH}{BC}=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴ $OH=\frac{1}{2}BC=3x$.
∵PB是⊙O的切线,
∴∠OBP=90°,
∴∠PBO=∠AHO,
　又
∵∠BOP=∠AOH,
∴△AOH∽△POB,
∴ $\frac{PO}{AO}=\frac{OB}{OH}$，
∴ $\frac{5x + 1}{5x}=\frac{5x}{3x}$,
∴ $x=\frac{3}{10}$，
∴ $OE=\frac{3}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$.
　

2.「2024 山东威海中考」如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,且 BC = CD.点 E 是线段 AB 延长线上一点,连接 EC 并延长交射线 AD 于点 F,∠FEG 的平分线 EH 交射线 AC 于点 H,∠H = 45°.
(1)求证：EF 是⊙O 的切线.
(2)若 BE = 2,CE = 4,求 AF 的长.

答案：
解析　
(1)证明:如图,连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC//AF,
∵EH平分∠FEG,
∴∠FEH=∠GEH,
∵∠GEH=∠H + ∠BAC,∠FEG=∠F + ∠BAF,
∴2∠H + 2∠BAC=∠F + ∠BAF,
∵∠BAF=2∠BAC,
∴∠F=2∠H=90°,
∵OC//AF,
∴∠OCE=∠F=90°，即OC⊥EF,
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠OBC + ∠BAC=90°,
　由
(1)知∠OCE=90°,
∴∠OCB + ∠BCE=90°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠BCE=∠EAC,
∵∠CEB=∠AEC,
∴△BCE∽△CAE,
∴ $\frac{BE}{CE}=\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴ $CE^2 = BE·AE$，即16 = 2AE，解得AE = 8，
∴AB = 8 - 2 = 6,
　在Rt△ABC中，AB = 6，$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ $BC=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$AC=\frac{12\sqrt{5}}{5}$,
∵∠F=∠ACB=90°,∠FAC=∠BAC,
∴△FAC∽△CAB,
∴ $\frac{AF}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $AF=\frac{AC^2}{AB}=\frac{24}{5}$.
　

3.如图,在⊙O 中,AB 为直径,点 C 为圆上一点,延长 AB 到点 D,使 CD = CA,且∠D = 30°.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线.
(2)分别过 A、B 两点作直线 CD 的垂线,垂足分别为 E、F,过 C 点作 AB 的垂线,垂足为 G,求证：$CG^{2}= AE\cdot BF$.

答案：
证明　
(1)连接OC,如图所示.
∵CA=CD,∠D=30°,
∴∠CAD=∠D=30°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAD=30°,
∴∠COD=∠CAD + ∠ACO=30° + 30° = 60°,
∴∠OCD=180° - ∠D - ∠COD=180° - 30° - 60° = 90°,
∴OC⊥CD,
　又OC为半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)
∵∠COB=60°,且OC=OB,
∴△OCB为等边三角形,
∴∠CBG=60°,又
∵CG⊥AD,
∴∠CGB=90°,
∴∠GCB=90° - ∠CBG=30°,在Rt△CDG中,∠D=30°,
∴∠GCD=60°,
∴CB平分∠GCD,
∵BF⊥CD ，BG⊥CG,
∴BF=BG,又
∵BC=BC,
∴Rt△BCG≌Rt△BCF(HL),
∴CF=CG.
∵∠D=30°,AE⊥ED,
∴∠EAD=60°,又
∵∠CAD=30°,
∴AC平分∠EAG,
∵CE⊥AE,CG⊥AB,
∴CE=CG,易知∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠BCF=30°,
∵∠AEC=∠BFC=90°,∠EAC=30° = ∠BCF,
∴△AEC∽△CFB,
∴ $\frac{AE}{CF}=\frac{CE}{BF}$，即CF·CE = AE·BF,又CE = CG,CF = CG,
∴ $CG^2 = AE·BF$.