《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.「2025 江苏苏州虎丘一中月考」下列函数一定是二次函数的是 (D)
A.$ y = ax ^ { 2 } + bx + c $
B.$ y = - x - 4 $
C.$ y = 2 x ^ { 2 } - \frac { 3 } { x } $
D.$ v = 3 s ^ { 2 } + s - 2 $

答案： 【解析】：
本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义式$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），对选项逐一分析。
A选项：$y = ax^2 + bx + c$，
当$a = 0$时，该函数退化为一次函数，
所以，它不一定是二次函数，
故A选项错误。
B选项：$y = -x - 4$，
此函数为一次函数，不满足二次函数的定义，
故B选项错误。
C选项：$y = 2x^2 - \frac{3}{x}$，
由于函数中含有分式，不是整式函数，
因此，它不符合二次函数的定义，
故C选项错误。
D选项：$v = 3s^2 + s - 2$，
此函数满足二次函数的定义，其中$a = 3$，$b = 1$，$c = -2$，且$a\neq 0$，
所以，它一定是二次函数，
故D选项正确。
【答案】：D。

2. 已知二次函数 $ y = ( 2 x + 3 ) ( x - 1 ) + 5 $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 $ a , b , c $,则 $ a - b + c = $3。

答案： 【解析】：
首先，我们需要将给定的二次函数 $y = (2x + 3)(x - 1) + 5$ 展开为一般形式 $y = ax^2 + bx + c$。
展开过程如下：
$y = (2x + 3)(x - 1) + 5$
$= 2x^2 - 2x + 3x - 3 + 5$
$= 2x^2 + x + 2$
由此，我们可以得到二次项系数 $a = 2$，一次项系数 $b = 1$，常数项 $c = 2$。
接着，根据题目要求，我们需要求出 $a - b + c$ 的值。
$a - b + c = 2 - 1 + 2 = 3$
【答案】：
3

3. 若函数 $ y = ( k - 2 ) x ^ { k ^ { 2 } - k } $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则一次函数 $ y = k x - 1 $ 的图像不经过第一象限。

答案： 【解析】：
题目要求函数$y = (k - 2)x^{k^2 - k}$是关于$x$的二次函数。
根据二次函数的定义，指数应为2，即$k^2 - k = 2$，并且$k-2 \neq 0$，否则函数将不是二次函数。
首先，我们解方程$k^2 - k = 2$，移项得$k^2 - k - 2 = 0$。
这是一个一元二次方程，解得$k = 2$或$k = -1$。
由于$k-2 \neq 0$，所以$k \neq 2$，只有$k = -1$。
然后，我们将$k = -1$代入一次函数$y = kx - 1$，得到$y = -x - 1$。
接下来，我们分析这个函数图像的位置。
由于斜率$k = -1 ＜ 0$，且截距$b = -1 ＜ 0$，所以函数的图像将经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】：
一

4.「2025 江苏苏州高新一中月考」
(1) 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = ( m ^ { 2 } - m ) x ^ { 2 } + ( m - 1 ) x + m + 1 $,若这个函数是关于 $ x $ 的二次函数,求 $ m $ 的取值范围。
(2) 已知函数 $ y = ( m ^ { 2 } + m ) x ^ { m ^ { 2 } - 2 m - 1 } $ 是二次函数,求 $ m $ 的值。

答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的定义，即函数形式为$y = ax^{2} + bx + c$，其中$a \neq 0$。
(1) 对于第一个问题，需要找到满足条件的$m$使得$m^{2} - m \neq 0$。
这是一个一元二次不等式，可以通过因式分解或者求根公式来求解。
(2) 对于第二个问题，函数形式为$y = (m^{2} + m)x^{m^{2} - 2m - 1}$，要使其为二次函数，需要满足两个条件：
一是$m^{2} + m \neq 0$，保证二次项系数不为0；
二是$m^{2} - 2m - 1 = 2$，保证$x$的指数为2。
这是一个一元二次方程，可以通过移项和因式分解或者求根公式来求解。
【答案】：
(1) 解：
由于函数$y = (m^{2} - m)x^{2} + (m - 1)x + m + 1$是关于$x$的二次函数，
所以有$m^{2} - m \neq 0$，
即$m(m - 1) \neq 0$，
解得$m \neq 0$且$m \neq 1$。
所以$m$的取值范围是$m \neq 0$且$m \neq 1$。
(2) 解：
由于函数$y = (m^{2} + m)x^{m^{2} - 2m - 1}$是关于$x$的二次函数，
所以有$\left\{ \begin{array}{l} m^{2} + m \neq 0 \\m^{2} - 2m - 1 = 2 \end{array} \right.$
即$\left\{ \begin{array}{l} m(m + 1) \neq 0 \\m^{2} - 2m - 3 = 0 \end{array} \right.$
由$m(m + 1) \neq 0$，得$m \neq 0$且$m \neq -1$，
由$m^{2} - 2m - 3 = 0$，
即$(m - 3)(m + 1) = 0$，
解得$m = 3$或$m = -1$，
由于$m \neq -1$，
所以$m = 3$。

5.「2025 江苏盐城康居路初中期中」为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题,国家决定对某药品分两次降价。若设平均每次降价的百分率为 $ x $,该药品的原价是 50 元/盒,降价后的价格是 $ y $ 元/盒,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是 (D)
A.$ y = 100 ( 1 - x ) $
B.$ y = 100 ( 1 + x ) $
C.$ y = 50 ( 1 + x ) ^ { 2 } $
D.$ y = 50 ( 1 - x ) ^ { 2 } $

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的应用，特别是在实际问题中如何根据降价百分率建立二次函数关系。
首先，设原价为50元/盒，降价百分率为$x$，则每次降价后的价格是原价的$1-x$倍。
第一次降价后的价格为：$50(1 - x)$，
第二次降价时，原价已经变为$50(1 - x)$，所以第二次降价后的价格为：$50(1 - x)(1 - x) = 50(1 - x)^{2}$，
因此，降价后的价格$y$与降价百分率$x$之间的函数关系式为：$y = 50(1 - x)^{2}$。
【答案】：
D. $y = 50(1 - x)^{2}$。

6.「2024 江苏徐州沛县月考」如图,在一幅长 80 cm,宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶上金色纸边,制成一幅矩形挂画,设挂画总面积为 $ y \mathrm { cm } ^ { 2 } $,金色纸边的宽为 $ x \mathrm { cm } $,则 $ y $ 与 $ x $ 的关系式是$y=(80+2x)(50+2x)$（或 $y=4x^2+260x+4000$）。

答案： 【解析】：
本题要求的是矩形挂画的总面积$y$与金色纸边宽度$x$的关系式。
首先，矩形风景画的长为$80cm$，宽为$50cm$。
当在四周镶上宽度为$x cm$的金色纸边后，挂画的长和宽都会增加$2x$（因为每边都增加了$x$）。
所以，挂画的长为$(80+2x)cm$，宽为$(50+2x)cm$。
矩形的面积公式是：$面积=长×宽$。
根据这个公式，可以得到挂画的总面积$y$与金色纸边宽度$x$的关系式为：
$y=(80+2x)(50+2x)$，
展开后得到：
$y=4x^2+260x+4000$。
【答案】：
$y=(80+2x)(50+2x)$（或 $y=4x^2+260x+4000$）。

7. 如图,已知等腰直角 $ \triangle A B C $ 的直角边长与正方形 $ M N P Q $ 的边长均为 20 厘米,$ A C $ 与 $ M N $ 在同一直线上,开始时点 $ A $ 与点 $ N $ 重合,让 $ \triangle A B C $ 以每秒 2 厘米的速度向左运动,最终点 $ A $ 与点 $ M $ 重合,则重叠部分面积 $ y $ (平方厘米) 与时间 $ t $ (秒) 之间的函数关系式为$y = 2t^2 - 40t + 200(0\leq t\leq10)$。

答案： 【解析】：由题意知，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC=45^\circ$，
因为$MN// AC$，
所以，$\angle BQM=\angle BAC=45^\circ$，$\angle BMQ=90^\circ$，
所以，$\triangle BQM$是等腰直角三角形，
所以，$QM=BM=20-2t$，
所以，$y=\frac{1}{2}×(20-2t)^2=2t^2-40t+200$，
因为，点A与点N重合时$t=0$，点A与点M重合时$t=10$，
所以，$0\leq t\leq10$，
综上，重叠部分面积$y$（平方厘米）与时间$t$（秒）之间的函数关系式为$y = 2t^2 - 40t + 200(0\leq t\leq10)$
【答案】：$y = 2t^2 - 40t + 200(0\leq t\leq10)$

8.「2025 北京四十四中期中,」如图,正方形 $ A B C D $ 和 $ \odot O $ 的周长之和为 20 cm,设圆的半径为 $ x \mathrm { cm } $,正方形的边长为 $ y \mathrm { cm } $,阴影部分的面积为 $ S \mathrm { cm } ^ { 2 } $。当 $ x $ 在一定范围内变化时,$ y $ 和 $ S $ 都随 $ x $ 的变化而变化,则 $ y $ 与 $ x $,$ S $ 与 $ x $ 满足的函数关系分别是 (B)

A.一次函数关系,一次函数关系
B.一次函数关系,二次函数关系
C.二次函数关系,二次函数关系
D.二次函数关系,一次函数关系
]

答案： 【解析】：
首先，根据题目条件，正方形$ABCD$和圆$O$的周长之和为$20\text{cm}$。
圆的周长为$2\pi x$，正方形的周长为$4y$。
因此，有方程：$4y + 2\pi x = 20 \quad \Rightarrow \quad y = 5 - \frac{\pi}{2}x$。
从上述方程可以看出，$y$是$x$的一次函数。
接下来，求阴影部分的面积$S$。
正方形的面积为$y^2 = \left(5 - \frac{\pi}{2}x\right)^2$，圆的面积为$\pi x^2$。
因此，阴影部分的面积为：
$S = y^2 - \pi x^2 = \left(5 - \frac{\pi}{2}x\right)^2 - \pi x^2 = 25 - 5\pi x + \frac{\pi^2}{4}x^2 - \pi x^2 = 25 - 5\pi x + \left(\frac{\pi^2}{4} - \pi\right)x^2$。
从上述方程可以看出，$S$是$x$的二次函数。
综上所述，$y$与$x$是一次函数关系，$S$与$x$是二次函数关系。
【答案】：B。