《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

10. 新高考代数推理「★☆」关于$x的方程ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中,$a、b、c满足a + b + c = 0和9a - 3b + c = 0$,则该方程的根是(A)
A.$x_{1}= 1,x_{2}= -3$
B.$x_{1}= 1,x_{2}= 3$
C.$x_{1}= -1,x_{2}= 3$
D.无法确定

答案： A 对于方程$ax^{2}+bx + c = 0$,当x = 1时,$a + b + c = 0$,当x = - 3时,$9a - 3b + c = 0$,所以该方程的根为$x_{1}=1$,$x_{2}=-3$.故选A.

11. 学科整体特色思想(1)「2023 湖南娄底中考,★☆」若$m是方程x^{2}-2x - 1 = 0$的根,则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=$6.
(2)「2024 贵州贵阳二十八中期中改编,★☆」已知$m为方程x^{2}+3x - 2024 = 0$的根,那么$m^{3}+2m^{2}-2027m + 2024$的值为0.

答案： 答案
(1)6
(2)0
解析
(1)
∵m是方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的根,
∴$m^{2}-2m - 1 = 0$,
∴$m - 2-\frac{1}{m}=0$,即$m-\frac{1}{m}=2$,
∴$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m-\frac{1}{m})^{2}+2=2^{2}+2=6$.
(2)
∵m为方程$x^{2}+3x - 2024 = 0$的根,
∴$m^{2}+3m = 2024$,
∴$m^{3}+2m^{2}-2027m + 2024=m(m^{2}+3m)-m^{2}-2027m + 2024=2024m - m^{2}-2027m + 2024=-(m^{2}+3m)+2024=-2024 + 2024=0$.

12. 「2022 浙江衢州中考,★☆」将一个容积为$360cm^{3}$的长方体包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利用容积列出图中$x(cm)$满足的一元二次方程：$15x\cdot\frac{20 - 2x}{2}=360$(不必化简).

答案： 答案 $15x\cdot\frac{20 - 2x}{2}=360$
解析 由题意可得长方体的高为15cm,其底面是一个矩形,其中一边长为x cm,与其相邻的边长为$\frac{20 - 2x}{2}$cm,所以利用容积列出关于x的方程为$15x\cdot\frac{20 - 2x}{2}=360$.

13. 「2024 江苏无锡惠山西漳中学月考改编,★☆」关于$x的一元二次方程a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0化为一般式后为6x^{2}+10x - 1 = 0$,则以$a,b$为两条对角线长的菱形的面积为______.
30

答案： 答案 30
解析
∵$a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0$,
∴$ax^{2}+bx + a + 2b + c = 0$,
∵一元二次方程$a(x^{2}+1)+b(x + 2)+c = 0$化为一般式后为$6x^{2}+10x - 1 = 0$,
∴a = 6,b = 10,
∴$S_{菱形}=\frac{1}{2}×6×10=30$.

14. 科易错题「2025 江苏南京外国语学校淮安分校期中,★☆」已知关于$x的方程(k - 2)x^{k^{2}-2}+3x - 5 = 0$是一元二次方程,求直线$y = kx - k$与两坐标轴围成的三角形的面积.

答案： 解析
∵$(k - 2)x^{k^{2}-2}+3x - 5 = 0$是关于x的一元二次方程,
∴$\begin{cases}k^{2}-2 = 2\\k - 2\neq0\end{cases}$,解得k = - 2.
∴直线解析式为$y=-2x + 2$.把x = 0代入$y=-2x + 2$,得y = 2;把y = 0代入$y=-2x + 2$,得x = 1.
∴直线$y=-2x + 2$与两坐标轴的交点坐标分别为(1,0),(0,2),
∴直线$y=-2x + 2$与两坐标轴围成的三角形的两条直角边的长分别为1和2,
∴所求面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$.

15. 新高考运算能力「2025 江苏扬州邗江期末」若关于$x的方程ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)满足a - b + c = 0$,则称此方程为“贺岁”方程.已知方程$a^{2}x^{2}-2024ax + 1 = 0(a\neq0)$是“贺岁”方程,则$a^{2}+2025a-\frac{a}{2024a + 1}$的值为(C)
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2025$
D.$2025$

答案： C 根据题意得“贺岁”方程的一个解为-1,
∵方程$a^{2}x^{2}-2024ax + 1 = 0(a\neq0)$是“贺岁”方程,
∴$a^{2}+2024a + 1 = 0$,即$a^{2}+2024a=-1$,即$2024a + 1=-a^{2}$,
∴原式$=(a^{2}+2024a)+a-\frac{a}{2024a + 1}=(a^{2}+2024a)+\frac{2024a^{2}}{2024a + 1}=-1+\frac{2024a^{2}}{-a^{2}}=-1-2024=-2025$.故选C.

16. 新高考推理能力新高考阅读理解题「2024 江苏南通崇川启秀中学月考」阅读理解：
定义：如果关于$x的方程a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}= 0(a_{1}\neq0,a_{1}、b_{1}、c_{1}$是常数)与$a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}= 0(a_{2}\neq0,a_{2}、b_{2}、c_{2}$是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0$,则这两个方程互为“对称方程”.比如：求方程$2x^{2}-3x + 1 = 0$的“对称方程”,这样思考：由方程$2x^{2}-3x + 1 = 0$可知,$a_{1}= 2,b_{1}= -3,c_{1}= 1$,根据$a_{1}+a_{2}= 0,b_{1}= b_{2},c_{1}+c_{2}= 0$,可求出$a_{2},b_{2},c_{2}$,从而可确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的“对称方程”：______$-x^{2}-4x - 3 = 0$.
(2)若关于$x的方程5x^{2}+(m - 1)x - n = 0与-5x^{2}-x = 1$互为“对称方程”,求$(m + n)^{2}$的值.
$-5x^{2}-x = 1$可以变形为$-5x^{2}-x - 1 = 0$,∵方程$5x^{2}+(m - 1)x - n = 0$与$-5x^{2}-x - 1 = 0$互为“对称方程”,∴$m - 1=-1$,$-n+(-1)=0$,解得m = 0,n = - 1,∴$(m + n)^{2}=(0 - 1)^{2}=1$.

答案： 解析
(1)$-x^{2}-4x - 3 = 0$.
(2)$-5x^{2}-x = 1$可以变形为$-5x^{2}-x - 1 = 0$,
∵方程$5x^{2}+(m - 1)x - n = 0$与$-5x^{2}-x - 1 = 0$互为“对称方程”,
∴$m - 1=-1$,$-n+(-1)=0$,解得m = 0,n = - 1,
∴$(m + n)^{2}=(0 - 1)^{2}=1$.