《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

8.[☆☆]由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形,$∠AOB= ∠BOC= ∠COD= ... =∠LOM= 30^{\circ }$.若$S_{△AOB}= 1$,则图中与$△AOB$位似的三角形的面积为(C)
A.$(\frac {4}{3})^{3}$
B.$(\frac {4}{3})^{7}$
C.$(\frac {4}{3})^{6}$
D.$(\frac {3}{4})^{6}$

答案： C 在Rt△AOB中，∠AOB = 30°，
∴ OB = 2AB，
∵ OB² - AB² = AO²，
∴ OB = $\frac{2}{\sqrt{3}}OA$，同理，OC = $\frac{2}{\sqrt{3}}OB$，
∴ OC = $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2}OA$，...，OG = $(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}OA$，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且相似比为$(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}$，
∵ S△AOB = 1，
∴ S△GOH = $[(\frac{2}{\sqrt{3}})^{6}]^{2}=(\frac{4}{3})^{6}$，故选C。

9.新考向数学文化[2024 江苏常州中考调研,☆☆]《墨子·天志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形 ABCD 的面积为 2,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形$A'B'C'D'$,若$AB:A'B'= 1:2$,则四边形$A'B'C'D'$的外接圆的半径为____.

答案：
答案 2
解析 如图，连接B'D'，

∵ 正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形，AB:A'B' = 1:2，
∴ 正方形ABCD与正方形A'B'C'D'的面积比为1:4，
∵ 正方形ABCD的面积为2，
∴ 正方形A'B'C'D'的面积为8，
∴ 正方形A'B'C'D'的边长为$2\sqrt{2}$，
∵ 四边形A'B'C'D'是正方形，
∴ ∠A' = 90°，
∴ B'D'是四边形A'B'C'D'的外接圆的直径，
∴ B'D' = $\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}} = 4$，
∴ 四边形A'B'C'D'的外接圆的半径为2。

10.[2023 黑龙江绥化中考,☆☆]如图,在平面直角坐标系中,$△ABC与△AB'C'$的相似比为 1:2,点 A 是位似中心,已知点$A(2,0)$,点$C(a,b),∠C= 90^{\circ }$,则点$C'$的坐标为____.(用含 a,b 的式子表示)

答案：
答案 (6 - 2a,-2b)
解析 如图，过C作CM⊥AB于M，过C'作C'N⊥AB'于N，则∠ANC' = ∠AMC = 90°，

∵ △ABC与△AB'C'的相似比为1:2，
∴ $\frac{AC}{AC'}=\frac{1}{2}$。
∵ ∠NAC' = ∠CAM，∠ANC' = ∠AMC，
∴ △ACM∽△AC'N，
∴ $\frac{AM}{AN}=\frac{CM}{C'N}=\frac{AC}{AC'}$，
∵ 点A(2,0)，点C(a,b)，
∴ OA = 2，OM = a，CM = b，
∴ AM = a - 2，
∴ $\frac{a - 2}{AN}=\frac{b}{C'N}=\frac{1}{2}$，
∴ AN = 2a - 4，C'N = 2b，
∴ ON = AN - OA = 2a - 6，
∴ 点C'的坐标为(6 - 2a,-2b)。

11.新课标推理能力如图,在平面直角坐标系中,矩形 AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上,且$OA= 2,OC= 1$.在第二象限内,将矩形 AOCB 的各边以原点 O 为位似中心放大为原来的$\frac {3}{2}$倍,得到矩形$A_{1}OC_{1}B_{1}$,再将矩形$A_{1}OC_{1}B_{1}$的各边以原点 O 为位似中心放大为原来的$\frac {3}{2}$倍,得到矩形$A_{2}OC_{2}B_{2}$,……,以此类推,得到的矩形$A_{n}OC_{n}B_{n}$的对角线交点的坐标为____.
$(-\frac{3^{n}}{2^{n}},\frac{3^{n}}{2^{n + 1}})$

答案： 答案 $(-\frac{3^{n}}{2^{n}},\frac{3^{n}}{2^{n + 1}})$
解析
∵ 在第二象限内，将矩形AOCB的各边以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₁OC₁B₁，
∴ 矩形A₁OC₁B₁与矩形AOCB是位似图形，点B与点B₁是对应点，
∵ OA = 2，OC = 1，
∴ 点B的坐标为(-2,1)，
∴ 点B₁的坐标为$(-2×\frac{3}{2},1×\frac{3}{2})$،
∵ 将矩形A₁OC₁B₁的各边以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到矩形A₂OC₂B₂，
∴ B₂$(-2×\frac{3}{2}×\frac{3}{2},1×\frac{3}{2}×\frac{3}{2})$，...，
∴ Bₙ$(-2×\frac{3^{n}}{2^{n}},1×\frac{3^{n}}{2^{n}})$，
∴ 矩形AₙOCₙBₙ的对角线交点的坐标为$(-2×\frac{3^{n}}{2^{n}}×\frac{1}{2},1×\frac{3^{n}}{2^{n}}×\frac{1}{2})$，即$(-\frac{3^{n}}{2^{n}},\frac{3^{n}}{2^{n + 1}})$。

12.新课标推理能力如图,坐标原点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,顶点 A 的坐标为$(1,t),AB// x$轴,矩形$A'B'C'D'$与矩形 ABCD 是位似图形,点 O 为位似中心,点$A',B'$分别是点 A,B 的对应点,$\frac {A'B'}{AB}= k$.已知关于 x,y 的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} mnx+y= 3n+1,\\ 3x+y= 4\end{array} \right. $(m,n 是实数)无解,在以 m,n 为坐标(记为$(m,n))$的所有的点中,若有且只有一个点落在矩形$A'B'C'D'$的边上,求 kt 的值.

答案： 解析
∵ 矩形A'B'C'D'与矩形ABCD是位似图形，$\frac{A'B'}{AB}= k$，顶点A的坐标为(1,t)，
∴ 点A'的坐标为(k,kt)，
∵ 原点O为矩形ABCD的对称中心，
∴ 矩形A'B'C'D'也关于点O成中心对称。
∵ 关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} mnx+y= 3n+1,\\ 3x+y= 4\end{array} \right.$(m,n 是实数)无解，
∴ mn = 3，且3n + 1≠4，即n = $\frac{3}{m}$(m≠3)，
∴ 反比例函数n = $\frac{3}{m}$的图像不经过点(3,1)。
∵ 以m,n为坐标(记为$(m,n))$的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形$A'B'C'D'$的边上，
∴ 反比例函数n = $\frac{3}{m}$的图像只经过点A'或C'，
∵ 矩形A'B'C'D'关于点O成中心对称，反比例函数n = $\frac{3}{m}$的图像关于点O成中心对称，
∴ 反比例函数n = $\frac{3}{m}$的图像经过点C'，且点A'的坐标是(3,1)，
∴ kt = 1。