《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

11. 「2025江苏南通通州育才中学月考」已知点$(m,n)为二次函数y= x^{2}-2x + 3$的图像上一点,则多项式$m^{2}+n^{2}-2m - 3n$的最小值为(C)
A.$-4$
B.$-\frac{13}{4}$
C.$-3$
D.$2$

答案： C

12. 「2024山东东营中考」已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图像如图所示,则下列结论正确的是(D)


A.$abc＜0$
B.$a - b= 0$
C.$3a - c= 0$
D.$am^{2}+bm\leqslant a - b$($m$为任意实数)

答案： D

13. 「2022江苏徐州中考」若二次函数$y= x^{2}-2x - 3的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于m$,则$m$的值为4。

答案： 4

14. 「2024四川内江中考」将二次函数$y= x^{2}-2x + 1的图像向左平移两个单位得到抛物线C$,点$P(2,y_{1})$,$Q(3,y_{2})在抛物线C$上,则$y_{1}$＜$y_{2}$(填“$＞$”或“$＜$”)。

答案： ＜

15. 「2025江苏南通崇川期中改编」在平面直角坐标系中,点$(1,m)$,$(3,n)在抛物线y= ax^{2}+bx + c(a＞0)$上,抛物线的对称轴是直线$x= t$,若$m＜c＜n$,则$t$的取值范围是______$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$

16. 「2025江苏南京钟英中学月考」当$a\leqslant x\leqslant a + 2$时,二次函数$y= x^{2}+2ax - 3的最大值与最小值的差为\frac{9}{4}$,则实数$a$的值为−$\frac{1}{4}$或−$\frac{3}{4}$。

答案： −$\frac{1}{4}$或−$\frac{3}{4}$

17. 「2024江苏淮安中考节选」二次函数$y= ax^{2}+bx + c的图像经过点A(0,8)$,顶点为$P$。
(1)$c= $______。
(2)当$a= \frac{1}{4}$时。
①若顶点$P到x轴的距离为10$,则$b= $______。
②直线$m过点(0,2b)且垂直于y$轴,顶点$P到直线m的距离为h$,随着$b$的增大,$h$的值如何变化？请描述变化过程。

答案：

(1)8
(2)①±3√2 ②顶点P的纵坐标为$\frac{4ac-b^{2}}{4a}$=8−b², 则h=|yP−2b|=|8−b²−2b|=|b²+2b−8|, 画出函数h与b的大致图像如下: 从图像上看，当b＞2或−4＜b＜−1时,h随b的增大而增大,当b＜−4或−1＜b＜2时,h随b的增大而减小.

18. 「2025江苏南通崇川期中」已知抛物线y= x^{2}-2ax + 2a经过A,B,M三点,其中,定点M的坐标为(m,1),A,B两点的横坐标分别为-a,-a + 2,且$-a\leqslant m\leqslant -a + 2。$(1)若抛物线过点(2,3),则它的对称轴是______。(2)当$-2\leqslant x\leqslant1$时,二次函数的最大值为1,求a的取值范围。(3)记$-a\leqslant x\leqslant -a + 2$时二次函数的最大值为y_{1},最小值为y_{2},求y_{1}+y_{2}的取值范围。[答案]：(1)直线x=$\frac{1}{2}$ (2)∵抛物线为y=x²−2ax+2a=x²−2a(x−1),∴无论a为何值时,当x=1时，总有y=1,∴定点M的坐标为(1,1),∴m=1,∴−a≤1≤−a+2,解得−1≤a≤1.∵抛物线对称轴是直线x=a,∴点M关于对称轴对称的点的坐标为(2a−1,1).∵当−2≤x≤1时,二次函数的最大值为1,∴2a−1≤−2,解得$a≤−\frac{1}{2},$∴$−1≤a≤−\frac{1}{2}$. (3)由(2)得−1≤a≤1, ①当−1≤a≤0时,抛物线对称轴在y轴左侧,A、B两点都在y轴右侧,此时y1=(−a+2)²−2a·(−a+2)+2a=3a²−6a+4,y2=(−a)²−2a·(−a)+2a=3a²+2a,∴$y1+y2=6a²−4a+4=6(a−\frac{1}{3})²+\frac{10}{3}, $当a=−1时,y1+y2=14,当a=0时,y1+y2=4,∴4≤y1+y2≤14; ②当0＜a≤1时,抛物线对称轴在y轴右侧,分情况讨论: 若$\frac{−a−a+2}{2}≥a,$则$a≤\frac{1}{2},$即$0＜a≤\frac{1}{2}, $此时y1=3a²−6a+4,y2=2a−a²,∴y1+y2=2a²−4a+4=2(a−1)²+2, 当a=0时,y1+y2=4,当$a=\frac{1}{2}$时$,y1+y2=\frac{5}{2},$∴$\frac{5}{2}≤y1+y2＜4; $若$\frac{−a−a+2}{2}＜a,$则$a＞\frac{1}{2},$即$\frac{1}{2}＜a≤1, $此时y1=3a²+2a,y2=2a−a²,∴y1+y2=2a²+4a=2(a+1)²−2, 当a=1时,y1+y2=6,当$a=\frac{1}{2}$时$,y1+y2=\frac{5}{2},$∴$\frac{5}{2}＜y1+y2≤6. $综上，$\frac{5}{2}≤y1+y2≤14$.

答案：
(1)直线x=$\frac{1}{2}$
(2)
∵抛物线为y=x²−2ax+2a=x²−2a(x−1),
∴无论a为何值时,当x=1时，总有y=1,
∴定点M的坐标为(1,1),
∴m=1,
∴−a≤1≤−a+2,解得−1≤a≤1.
∵抛物线对称轴是直线x=a,
∴点M关于对称轴对称的点的坐标为(2a−1,1).
∵当−2≤x≤1时,二次函数的最大值为1,
∴2a−1≤−2,解得a≤−$\frac{1}{2}$,
∴−1≤a≤−$\frac{1}{2}$.
(3)由
(2)得−1≤a≤1, ①当−1≤a≤0时,抛物线对称轴在y轴左侧,A、B两点都在y轴右侧,此时y1=(−a+2)²−2a·(−a+2)+2a=3a²−6a+4,y2=(−a)²−2a·(−a)+2a=3a²+2a,
∴y1+y2=6a²−4a+4=6(a−$\frac{1}{3}$)²+$\frac{10}{3}$, 当a=−1时,y1+y2=14,当a=0时,y1+y2=4,
∴4≤y1+y2≤14; ②当0＜a≤1时,抛物线对称轴在y轴右侧,分情况讨论: 若$\frac{−a−a+2}{2}$≥a,则a≤$\frac{1}{2}$,即0＜a≤$\frac{1}{2}$, 此时y1=3a²−6a+4,y2=2a−a²,
∴y1+y2=2a²−4a+4=2(a−1)²+2, 当a=0时,y1+y2=4,当a=$\frac{1}{2}$时,y1+y2=$\frac{5}{2}$,
∴$\frac{5}{2}$≤y1+y2＜4; 若$\frac{−a−a+2}{2}$＜a,则a＞$\frac{1}{2}$,即$\frac{1}{2}$＜a≤1, 此时y1=3a²+2a,y2=2a−a²,
∴y1+y2=2a²+4a=2(a+1)²−2, 当a=1时,y1+y2=6,当a=$\frac{1}{2}$时,y1+y2=$\frac{5}{2}$,
∴$\frac{5}{2}$＜y1+y2≤6. 综上，$\frac{5}{2}$≤y1+y2≤14.