《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

12.「2024江苏宿迁中考」规定:对于任意实数a、b、c,有【a,b】★c= ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1= 2×1+3= 5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)= 0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为(D)
A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m＞\frac {1}{4}$
C.$m＞\frac {1}{4}且m≠1$
D.$m＜\frac {1}{4}且m≠0$

答案： D 根据题意得x(mx)+x+1=0,整理得mx²+x+1=0,
∵关于x 的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等 的实数根,
∴b²-4ac=1-4m＞0且m≠0,解得m＜$\frac {1}{4}$且m≠0.故选D.

13.如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },BC= a$,$AC= b$.以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E.下列哪条线段的长度是方程$x^{2}+2ax-b^{2}= 0$的一个根(B)
A.线段BC的长
B.线段AD的长
C.线段EC的长
D.线段AC的长

答案： B 由勾股定理得AB=$\sqrt {BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt {a^{2}+b^{2}}$,
∴AD=$\sqrt {a^{2}+b^{2}}$-a,解方程x²+2ax-b²=0得x=$\frac {-2a\pm \sqrt {4a^{2}+4b^{2}}}{2}=\pm \sqrt {a^{2}+b^{2}}$-a,
∴线段AD的长是方程x²+2ax-b²=0的一个根.故选B.

14.「2024福建漳州一中二模」若方程$x^{2}+mx+1= 0$和$x^{2}+x+m= 0$有公共根,则常数m的值是-2.

答案： 答案 -2
解析设方程x²+mx+1=0和x²+x+m=0的公共根为t,则t²+mt+1=0①,t²+t+m=0②,①-②得(m-1)t=m-1,分情况求解:
(1)如果m=1,那么两个方程均为x²+x+1=0,b²-4ac=1²-4×1×1=-3＜0,不符合题意;
(2)如果m≠1,那么t=1,把t=1代入①,得1+m+1=0,解得m=-2.综上所述,常数m的值为-2.

15.「2025江苏镇江丹阳华南实验教育集团期中」已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx+2m-7= 0$.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根.
(2)已知方程的一个根为$x= 2$,求m的值及方程的另一根.

答案： 解析
(1)证明:
∵b²-4ac=m²-4(2m-7)=m²-8m+28=(m²-8m+16)+12=(m-4)²+12＞0,
∴该方程总有两个不相等的实数根.
(2)把x=2代入x²+mx+2m-7=0得2²+2m+2m-7=0,解得m=$\frac {3}{4}$,
∴原方程为x²+$\frac {3}{4}$x-$\frac {11}{2}=0$,即4x²+3x-22=0,
∴b²-4ac=3²-4×4×(-22)=361＞0,
∴x=$\frac {-3\pm \sqrt {361}}{2×4}$.
∴x₁=-$\frac {11}{4}$,x₂=2.
故m的值为$\frac {3}{4}$,方程的另一根为x=-$\frac {11}{4}$.

16.新课标运算能力学科特色分类讨论思想解关于x的方程:$(k^{2}-4)x^{2}-(5k-2)x+6= 0$.

答案： 解析 ①当k²-4≠0时,方程是一元二次方程,a=k²-4,b=-(5k-2),c=6,
∴b²-4ac=[-(5k-2)]²-4(k²-4)×6=(k-10)²≥0,
∴x=$\frac {5k-2\pm \sqrt {(k-10)^{2}}}{2(k^{2}-4)}$,
∴x₁=$\frac {3}{k+2}$,x₂=$\frac {2}{k-2}$.②当k²-4=0且-(5k-2)≠0时,方程是一元一次方程,解得k=±2,当k=2时,方程为-8x+6=0,解得x=$\frac {3}{4}$;当k=-2时,方程为12x+6=0,解得x=-$\frac {1}{2}$.

17.新课标推理能力「2024江苏苏州工业园区星湾学校期中」已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}-2bx-a+c= 0$,其中a,b,c为$△ABC$的三边长.
(1)若$x= 1$是方程的根,判断$△ABC$的形状,并说明理由.
(2)若方程有两个相等的实数根,判断$△ABC$的形状,并说明理由.

答案： 解析
(1)△ABC为等腰三角形.理由:把x=1代入方程得a+c-2b-a+c=0,化简得c=b,则△ABC为等腰三角形.
(2)△ABC为直角三角形.
理由:
∵方程有两个相等的实数根,
∴(-2b)²-4(a+c)(-a+c)=0,
∴b²+a²=c²,
∴△ABC为直角三角形.