《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.[2025江苏南京建邺期中]如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,以$AB为直径作\odot O交BC于点D$,过点$D作DE\perp AC$,垂足为$E$.求证：$DE与\odot O$相切.

答案：
证明 如图,连接 OD,则 OD=OB,
　　　　　　　
∴∠ODB=∠B,
∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∴OD//AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,又
∵OD 为⊙O 的半径,
∴DE 与⊙O 相切.

2.[2024江苏镇江丹阳三中月考]如图,$AB为\odot O$的直径,过圆上一点$D作\odot O的切线CD交BA的延长线于点C$,过点$O作OE// AD交CD的延长线于点E$,连接$BE$.
(1)直线$BE与\odot O$相切吗？说明理由.
(2)若$CA = 2$,$CD = 4$,求$DE$的长.

答案：
(1)直线 BE 与⊙O 相切.理由:连接 OD(图略),
∵CD 与⊙O 相切于点 D,
∴∠ODE=90°,
∵AD//OE,
∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB,
∵OD=OA,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOE=∠EOB,
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE≌△BOE(SAS),
∴∠OBE=∠ODE=90°,又
∵OB 是⊙O 的半径,
∴直线 BE 与⊙O 相切.
(2)设⊙O 的半径为 r,则 OC=r+2,在 Rt△ODC 中,OD²+DC²=OC²,
∴r²+4²=(r+2)²,
∴r=3,
∴AB=2r=6,
∴BC=AC+AB=2+6=8,由切线长定理知 DE=BE,在 Rt△BCE 中,BC²+BE²=CE²,
∴8²+DE²=(4+DE)²,
∴DE=6.

3.[2025江苏南京江宁上元中学月考]如图,$\triangle ABC$为等腰三角形,$O是底边BC$的中点,腰$AB与\odot O相切于点D$.求证：$AC与\odot O$相切.

答案：
证明 如图,过点 O 作 OE⊥AC 于点 E,连接 OD,OA,
　　　　　　　
∵AB 与⊙O 相切于点 D,
∴AB⊥OD,
∵△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,
∴AO 平分∠BAC,
∴OE=OD,
∵OD 是⊙O 的半径,
∴OE 是⊙O 的半径,
∴AC 与⊙O 相切.

4.[2024江苏无锡江阴期中]如图,$BD平分\angle ABC$,点$O是BD$上一点,$\odot O与AB相切于点M$,与$BD交于点E$、$F$.
(1)求证：$BC是\odot O$的切线.
(2)连接$EM$,若$EM// BC$,求$\angle ABC$的度数.

答案：

(1)证明:连接 OM,过点 O 作 ON⊥BC 于 N,如图所示
　　　　　　　
∵AB 为⊙O 的切线,
∴OM 为⊙O 的半径,且 OM⊥AB,
∵BD 平分∠ABC,ON⊥BC,
∴ON=OM,即 ON 为⊙O 的半径,
∴BC 是⊙O 的切线.
(2)设∠ABE=α,
∵BD 平分∠ABC,
∴∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=2∠ABE=2α,
∵EM//BC,
∴∠MEB=∠CBE=α,
∵OE=OM,
∴∠MEB=∠OME=α,
∴∠MOB=∠MEB+∠OME=2α,
∵OM⊥AB,
∴∠MOB+∠MBE=90°,即 2α+α=90°,
∴α=30°,
∴∠ABC=60°.