《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

9. 「2025 江苏盐城康居路初中期中,☆☆」草帽是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品.如图,某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为 25 cm、高为 20 cm 的锥形草帽.粘贴时,彩色卡纸恰好覆盖草帽外表,而且卡纸连接处无缝隙、不重叠。
(1) 这顶锥形草帽的底面半径为15cm,侧面积为375π$\text{cm}^2$。(结果保留 $\pi$)
(2) 计算所需扇形卡纸的圆心角的度数。

设扇形卡纸的圆心角的度数为$n^{\circ}$，由题意得$\frac{nπ×25}{180} = 2π×15$，解得$n = 216$。答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度。

答案： 解析
(1)
∵ 母线长为25 cm，高为20 cm，
∴ 底面半径为$\sqrt{25^2 - 20^2} = 15(\text{cm})$，侧面积为$15×25π = 375π(\text{cm}^2)$，故答案为15；375π。
(2)设扇形卡纸的圆心角的度数为$n^{\circ}$，由题意得$\frac{nπ×25}{180} = 2π×15$，解得n = 216。答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度。

10. 「2022 山东潍坊中考,☆☆」在数学实验课上,小莹将含 $30^{\circ}$ 角的直角三角尺分别以两个直角边所在直线为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,如图所示：

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边 $AB$ 旋转得到的,所以它们的侧面积相等。”你认同小亮的说法吗？请说明理由。

答案： 解析 小亮的说法不正确。理由：设直角三角尺三边长分别为BC = a，$AC = \sqrt{3}a$，AB = 2a，
∴ 甲圆锥的侧面积$S_甲 = π·BC·AB = π×a×2a = 2πa^2$，乙圆锥的侧面积$S_乙 = π·AC·AB = π×\sqrt{3}a×2a = 2\sqrt{3}πa^2$，
∴ $S_甲≠S_乙$，
∴ 小亮的说法不正确。

11. 某铁匠要制作一个圆锥模型,操作规则是在一块边长为 16 cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧面时,圆恰好是该圆锥的底面。他首先设计了如图所示的方案一,发现这种方案不可行,于是他调整了扇形和圆的半径,设计了如图所示的方案二。(两个方案的图中,圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)
(1) 请说明方案一不可行的理由。
(2) 判断方案二是否可行,若可行,请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行,请说明理由。

答案：
解析
(1)如图，连接AC，设圆与扇形的弧的切点为E。

扇形的弧长$= \frac{1}{4}×2π×16 = 8π(\text{cm})$，要使$\odot O_1$恰好是圆锥的底面，则$\odot O_1$的半径$O_1E = 4\ \text{cm}$。过$O_1$作$O_1F⊥CD$于点F，则$\triangle CO_1F$为等腰直角三角形，
∴ $O_1C = \sqrt{O_1F^2 + CF^2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm}$，由题意知AE = AB = 16 cm，
∴ 制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为$AE + O_1E + O_1C = 16 + 4 + 4\sqrt{2} = (20 + 4\sqrt{2})\text{cm}$，
∵ AB = 16 cm，
∴ $AC = 16\sqrt{2}\ \text{cm}$，
∵ $20 + 4\sqrt{2}＞16\sqrt{2}$，
∴ 方案一不可行。
(2)方案二可行。

如图，连接AC，设圆与扇形的弧的切点为E。设$\odot O_2$的半径为r cm，圆锥的母线长为R cm，
∵ AB = 16 cm，
∴ $AC = 16\sqrt{2}\ \text{cm}$，过$O_2$作$O_2F⊥CD$于点F，则$O_2C = \sqrt{2}r\ \text{cm}$，则$(1 + \sqrt{2})r + R = 16\sqrt{2}$①，$2πr = \frac{2πR}{4}$②。由①②可得，$R = \frac{64\sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{320\sqrt{2} - 128}{23}$，$r = \frac{16\sqrt{2}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2} - 32}{23}$。故圆锥的母线长为$\frac{320\sqrt{2} - 128}{23}\ \text{cm}$，底面圆的半径为$\frac{80\sqrt{2} - 32}{23}\ \text{cm}$。