《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

10.「2024江苏淮安盱眙期中」如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是$55^{\circ }$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上安装4台这样的监视器.

答案： 答案　4
解析
∵∠P=55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，
∵360°÷110°=3$\frac{3}{11}$，
∴最少需要在圆形边缘上安装4台这样的监视器。

11.「」在$\odot O$中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角的度数为____.

答案：
答案　60°或120°
解析　如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OB=AB。又
∵OB=OA，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOD=60°，同理∠COA=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弦BC所对的圆周角的度数为60°或120°。

12.「2024江苏宿迁宿城期中」如图,点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点,OA为$\odot O$的半径,点P是优弧$\widehat {AMB}$的中点,则$\triangle APB$的面积为____.

答案：
答案　$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
解析　过点B作BC⊥PA于点C，

∵点P是优弧$\widehat{AMB}$的中点，
∴PA=PB。
∵∠AOB=90°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∴△PBC是等腰直角三角形，
∴PC=BC，设PC=x，则PA=PB=$\sqrt{2}$x，
∴AC=PA−PC=($\sqrt{2}$−1)x，
∵AB²=AC²+BC²，AB=$\sqrt{2}$，
∴2=[($\sqrt{2}$−1)x]²+x²，
∴x²=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$PA·BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$。

13.「」如图,在$\odot O$中,$\widehat {AB}= \widehat {BC}= \widehat {CD},OC$与AD相交于点E.
求证:(1)$AD// BC$.
(2)四边形BCDE为菱形.

答案：
证明　
(1)如图，连接BD，

∵$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD//BC。
(2)如图，连接CD，设OC与BD相交于点F，
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴BC=CD，BF=DF，
又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF(ASA)，
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形。

14.新课标推理能力「2025江苏扬州华君外国语学校月考」如图1,C,D是半圆ACB上的两点,点P是直径AB上一点,且满足$∠APC= ∠BPD$,则称$∠CPD是\widehat {CD}$的“相望角”.
(1)如图2,若弦$CE⊥AB$,D是弧BC上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP.求证:$∠CPD是\widehat {CD}$的“相望角”.
(2)如图3,若直径$AB= 6$,弦$CE⊥AB,\widehat {CD}$的“相望角”为$90^{\circ }$,求CD的长.

答案： 解析　
(1)证明:
∵弦CE⊥直径AB，
∴AB垂直平分弦CE，
∴∠APC=∠APE，
∵∠APE=∠BPD，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠CPD是$\widehat{CD}$的“相望角”。
(2)
∵$\widehat{CD}$的“相望角”为90°，
∴∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD=45°，
∵直径AB=6，弦CE⊥AB，
∴∠PEC=∠PCE，∠APE=∠APC=45°，
∴∠CPE=90°，
∴∠PEC=∠PCE=45°，
如图，连接OC，OD，则OC=OD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵$\widehat{CD}=\widehat{CD}$，
∴∠COD=2∠PEC=90°，
∴CD=$\sqrt{OC^2+OD^2}$=3$\sqrt{2}$，即CD的长为3$\sqrt{2}$。