《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

7.如图1,放置两个全等的含有$30^{\circ}$角的直角三角尺ABC与DEF($∠B = ∠E = 30^{\circ}$).若将三角尺ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持点B,F,C,E在同一条直线上,如图2,AB与DF,DE分别交于点P,M,AC与DE交于点Q,其中$AC = DF = \sqrt{3}$,设三角尺ABC的移动时间为x秒.
(1)在移动过程中,试用含x的代数式表示$△AMQ$的面积.
(2)当x等于多少时,两个三角尺重叠部分的面积有最大值?最大值是多少?

答案：
解析　
(1)
∵在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴∠BAC =60°.
∵∠E=30°,
∴∠EQC=∠AQM=60°,
∴△AMQ为等边三角形，如图,过点M作MN⊥AQ,垂足为N;

在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=$\sqrt{3}$，
∴BC=3,
∴EF=BC=3.根据题意知,CF=x,
∴CE=EF−CF=3−x,
∴CQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(3−x),
∴AQ=AC−CQ=$\sqrt{3}$−$\frac{\sqrt{3}}{3}$(3−x)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
∴AM=AQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x,
∴MN=$\frac{1}{2}$x,
∴S△AMQ=$\frac{1}{2}$AQ·MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x·$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{12}$x².
(2)由
(1)知BF=CE=3−x,PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(3−x),设两个三角尺重叠部分的面积为S重叠，
∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=$\frac{1}{2}$BC·AC−$\frac{1}{2}$AQ·MN−$\frac{1}{2}$BF·PF=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$−$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x·$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$(3−x)·$\frac{\sqrt{3}}{3}$(3−x)=−$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x=−$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x−2)²+$\sqrt{3}$,
∴当x=2时，重叠部分面积有最大值，最大值是$\sqrt{3}$。

8.新应用意识 [2024江苏无锡江阴南菁高级中学实验学校月考]无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”,每年6月至8月,总会吸引大批游客前来品尝,当地某商家为回馈顾客,两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克,并且两次降价的百分率相同.
(1)求每次降价的百分率.
(2)①从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示:
|时间x/天|1≤x＜9|9≤x＜15|
|售价/(元/千克)|第1次降价后的价格|第2次降价后的价格|
|销量/千克|105-3x|120-x|
|储存和损耗费用/元|40+3x|$3x^2-68x+300$|
已知该种水果的进价为8.2元/千克,设销售该水果第x天的利润为y元,求y与x(1≤x＜15)之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大.
②在①的条件下,这14天中有多少天的销售利润不低于930元?请直接写出结果.

答案： 解析　
(1)设每次降价的百分率为x，根据题意得20(1−x)²=16.2,解得x₁=0.1=10%,x₂=1.9(舍去).
∴每次降价的百分率为10%.
(2)①结合
(1)得第一次降价后的价格为20×(1−10%)=18元/千克,当1≤x＜9时,y=(18−8.2)(105−3x)−(40+3x)=−32.4x+989,
∵k=−32.4＜0,
∴y随着x 的增大而减小,
∴当x=1时,y有最大值，为−32.4×1+989=956.6;当9≤x＜15时,y=(16.2−8.2)×(120−x)−(3x²−68x+300)=−3x²+60x+660=−3(x−10)²+960,
∵a=−3＜0,
∴当x=10时,y有最大值，为960.
∵956.6＜960,
∴第10天时销售利润最大.综上可得y=$\begin{cases}-32.4x + 989(1\leq x\lt9)\\-3x^2 + 60x + 660(9\leq x\lt15)\end{cases}$，第10天时销售利润最大.
②当1≤x＜9时,令−32.4x+989≥930,解得x≤$\frac{295}{162}$,
∴第1天的销售利润不低于930元;当9≤x＜15时,令−3x²+60x+660≥930,解得10−$\sqrt{10}$≤x≤10+$\sqrt{10}$,
∴9≤x≤10+$\sqrt{10}$≈13,
∴第9~13天的销售利润不低于930元,13−9+1=5(天).故共有1+5=6天的销售利润不低于930元。