《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.「2025江苏苏州东沙湖学校月考」如图,网格中的小正方形的边长均相等,下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是 (B)

答案： B　设小正方形的边长均为1,则△ABC三边长分别为2,$\sqrt{2}$,$\sqrt{10}$.
A中三角形三边长分别为1,$2\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$;B中三角形三边长分别为$\sqrt{2}$,1,$\sqrt{5}$;C中三角形三边长分别为$\sqrt{5}$,3,$\sqrt{2}$;D中三角形三边长分别为2,$\sqrt{5}$,$\sqrt{13}$.
只有B中三角形的三边长与已知三角形的三边长对应成比例，故选B.

2.「2024江苏泰州期末」下列条件:①$∠A= 45^{\circ },AB= 12,AC= 15,∠A'= 45^{\circ },A'B'= 16,A'C'= 20;$②$∠A= 47^{\circ },AB= 1.5,AC= 2,∠B'= 47^{\circ },A'B'= 2.8,B'C'= 2.1$;③$AB= BC= 2,AC= 3,A'B'= B'C'= 4,A'C'= 6$,其中能判定$△ABC与△A'B'C'$相似的有 (D)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： D　①由∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{4}$，可判定△ABC∽△A'B'C'，故①符合题意；
②由∠A=∠B'，$\frac{AB}{B'C'}=\frac{AC}{B'A'}=\frac{5}{7}$，可判定△ABC∽△B'C'A'，故②符合题意；
③由$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{1}{2}$，可判定△ABC∽△A'B'C'，故③符合题意.故选D.

3.「2025上海虹口月考」在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则,“马”落在哪个位置,能使以“马”“车”“炮”所在位置的格点为顶点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点构成的三角形相似? (B)
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

答案： B　设象棋盘中每个小正方形的边长均为1,则以“帅”“相”“兵”所在位置的格点为顶点构成的三角形的三边的长分别为2,$2\sqrt{5}$,$4\sqrt{2}$，“车”与“炮”之间的距离为1，“炮”与“②”之间的距离为$\sqrt{5}$，“车”与“②”之间的距离为$2\sqrt{2}$，
∵$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴“马”应该落在②处，故选B.

4.「2024江苏盐城东台一模」如图,在$4×1$的网格中,每一个小正方形的顶点叫做格点,以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形,$△ABC$就是一个格点三角形,现从$△ABC$的三个顶点中选取两个格点,再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形,其中与$△ABC$相似的有 ( )


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案：
C　如图，连接AD,CF,BE，设小正方形的边长均为1，根据勾股定理得$AD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$CB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$CF=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，又
∵$AB=2$，$CD=2$，$BF=CE=1$，
∴$\frac{AD}{CB}=1$，$\frac{CD}{AB}=1$，$\frac{AC}{AC}=1$，$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{BE}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{BF}=\sqrt{2}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CB}=\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{AC}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BE}=\frac{BC}{CE}$，$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CF}$，
∴△ABC ∽△CDA，△ABC∽△BCE，△ABC∽△CBF，故选C.

5.「2025江苏宿迁宿豫期末」如图,AD,$A_{1}D_{1}分别是△ABC和△A_{1}B_{1}C_{1}$的中线,且$\frac {AB}{A_{1}B_{1}}= \frac {AC}{A_{1}C_{1}}= \frac {AD}{A_{1}D_{1}}$,判断$△ABC与△A_{1}B_{1}C_{1}$是否相似,并说明理由.

答案：
解析　△ABC∽△A₁B₁C₁，理由如下：
如图，延长AD到M，使$AM=2AD$，延长$A_1D_1$到$M_1$，使$A_1M_1=2A_1D_1$，

∴$\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{2AD}{2A_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$，又$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AM}{A_1M_1}$，
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=CD$，
在△ADC和△MDB中，$\begin{cases}\angle CDA=\angle BDM\\CD=BD\\AD=DM\end{cases}$，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴$BM=CA$，$\angle M=\angle CAD$，
同理得△A₁D₁C₁≌△M₁D₁B₁(SAS)，
∴$A_1C_1=M_1B_1$，$\angle M_1=\angle C_1A_1D_1$，
∴$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$，
∴$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AM}{A_1M_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$，
∴△ABM∽△A₁B₁M₁，
∴$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1$，$\angle M=\angle M_1$，
∴$\angle CAD=\angle C_1A_1D_1$，
∴$\angle BAC=\angle B_1A_1C_1$，
又
∵$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁.