《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

7.「2024江苏无锡宜兴一模,★☆」如图,AB是⊙O的直径,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BC}$,弦CD与AB延长线交于点E,AD、BC交于点F,若CD= DE,则∠AFC的度数为(B)

A.52.5°
B.60°
C.67.5°
D.75°

答案： 7.B　连接OC、OD,如图所示,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵AC=BC,OA=OB,
∴OC⊥AB,
∴∠BOC=90°,
∵CD=DE,
∴OD=$\frac{1}{2}$CE=CD,
∴OD=CD=OC,
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°,
∴∠AFC=90°-30°=60°.故选B.

8.「2024江苏淮安清江浦期中,★☆」如图,在四边形ACBD中,AB= BD= BC,AD//BC,若CD= 4,AC= 2,则AB的长为$\sqrt{5}$.

答案： 8.答案　$\sqrt{5}$　解析　如图,以B为圆心,BC长为半径作⊙B,延长CB交⊙B于点C',连接DC',则∠CDC'=90°,
∵AD//BC,
∴∠ADC=∠DCC',
∴DC'=AC=2,在Rt△CDC'中,CC'²=DC'²+CD²,CD=4,
∴CC'=$\sqrt{2^2+4^2}$=2$\sqrt{5}$,
∴AB=BC=$\frac{1}{2}$CC'=$\sqrt{5}$.

9.「2025江苏南京江宁上元中学月考,★☆」如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,AD⊥BC,垂足为D,$\overset{\frown}{AE}= \overset{\frown}{AB}$,BE交AD于点F.
(1)∠ACB与∠BAD相等吗? 为什么?
(2)判断△FAB的形状,并说明理由.

答案： 9.解析　
(1)∠ACB与∠BAD相等.理由:
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠BAD+∠ABC=90°,
∴∠ACB=∠BAD.　
(2)△FAB是等腰三角形.理由:
∵$\overset{\frown}{AE}$=$\overset{\frown}{AB}$,
∴∠ACB=∠ABE,
∵∠ACB=∠BAD,
∴∠BAD=∠ABE,
∴AF=BF,
∴△FAB是等腰三角形.

10.「2025江苏苏州中学月考」如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB= 6,∠AOC= 120°,P为⊙O上的动点,连接AP,取AP中点Q,连接CQ,则线段CQ的最大值为$\frac{3\sqrt{7}+3}{2}$.

答案： 10.答案　$\frac{3\sqrt{7}+3}{2}$　解析　如图，连接OQ,作CH⊥AB于H,
∵Q是AP中点，
∴AQ=QP,
∴OQ⊥AP,
∴∠AQO=90°,
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K,连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,
∵∠AOC=120°,
∴∠COH=60°,
∴∠OCH=30°,
∵OC=$\frac{1}{2}$AB=3,
∴OH=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$,
∴CH=$\sqrt{OC^2-OH^2}$=$\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∵在Rt△CKH中,KH=OK+OH=$\frac{1}{2}$OA+OH=$\frac{1}{4}$AB+OH=3,
∴CK=$\sqrt{CH^2+KH^2}$=$\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2+3^2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$,
∴CQ的最大值=$\frac{3\sqrt{7}}{2}+\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}+3}{2}$.

11.「2025江苏苏州中学月考」在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.
(1)如图1,点D与圆心O重合,AC= 3,求⊙O的半径r.
(2)如图2,点D与圆心O不重合.
①若∠BAC= 26°,则∠DCA的度数是______38°.
②若BD= 5,AD= 7,求AC的长.$\sqrt{114}$

答案： 11.解析　
(1)过点O作OE⊥AC于E,如图.则AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$,
∵翻折后点D与圆心O重合,
∴OE=$\frac{1}{2}$r,在Rt△AOE中,AO²=AE²+OE²,即r²=($\frac{3}{2}$)²+($\frac{1}{2}$r)²,解得r=±$\sqrt{3}$,
∵r＞0,
∴r=$\sqrt{3}$.
(2)①38° ②过C作CG⊥AB于G,连接OC,BC,如图
∵BD=5,AD=7,
∴AB=5+7=12,
∴⊙O的半径为6,由
(2)可知∠ADC+∠B=180°,
∵∠ADC+∠BDC=180°,
∴∠B=∠BDC.
∴DG=BG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$,OD=AD - AO=1,在Rt△OCG中,CG=$\sqrt{OC^2-OG^2}$=$\sqrt{6^2-(1+\frac{5}{2})^2}$=$\sqrt{\frac{95}{4}}$=$\frac{\sqrt{95}}{2}$,在Rt△ACG中,AC=$\sqrt{AG^2+CG^2}$=$\sqrt{(7+\frac{5}{2})^2+(\frac{\sqrt{95}}{2})^2}$=$\sqrt{114}$.
∴AC的长为$\sqrt{114}$.