《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

12.「2025江苏无锡江阴青阳初中月考节选」说明代数式：$2x^{2}+8x+y^{2}-8y+25$的值一定是一个正数。

答案： 证明
∵2x²+8x+y²-8y+25=2(x²+4x+4)+y²-8y+16+1=2(x+2)²+(y-4)²+1,
∴2(x+2)²+(y-4)²+1≥1,
∴2x²+8x+y²-8y+25的值一定为正数.

13.「2025江苏泰州靖江靖城中学月考」“配方法”在数学中非常有用.有时我们可以将代数式配成完全平方式,如：$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1,\because (x+2)^{2}≥0,\therefore (x+2)^{2}+1≥1,\therefore x^{2}+4x+5≥1$。有时我们也可以用配方法解一元二次方程.请利用“配方法”解决问题：
(1)当$x=$2时,代数式$x^{2}-4x+7$有最小(填“大”或“小”)值,这个最值为3。
(2)如图,在矩形ABCD中,$AB= a(a＜2),BC= 2$。以点D为圆心,CD的长为半径画弧,交AD于点E,交BD于点F.请指出图中哪条线段的长是方程$x^{2}+2ax= 4$的一个根,并说明理由。
]

线段BF的长是方程x²+2ax=4的一个根.理由如下:
∵矩形ABCD中,AB=a(a＜2),BC=2,
∴AD=BC=2,CD=AB=a,∠A=90°,
∴BD=√(a²+2²)=√(a²+4),由作图可知,DF=DC=a,
∴BF=BD-DF=√(a²+4)-a,
∵x²+2ax=4,
∴x²+2ax+a²=4+a²,
∴(x+a)²=4+a²,
∴x+a=±√(4+a²),
∴x₁=√(4+a²)-a,x₂=-√(4+a²)-a,
∴线段BF的长为方程x²+2ax=4的一个根.

答案：
(1)2;小;3
(2)线段BF的长是方程x²+2ax=4的一个根.理由如下:
∵矩形ABCD中,AB=a(a＜2),BC=2,
∴AD=BC=2,CD=AB=a,∠A=90°,
∴BD=√(a²+2²)=√(a²+4),由作图可知,DF=DC=a,
∴BF=BD-DF=√(a²+4)-a,
∵x²+2ax=4,
∴x²+2ax+a²=4+a²,
∴(x+a)²=4+a²,
∴x+a=±√(4+a²),
∴x₁=√(4+a²)-a,x₂=-√(4+a²)-a,
∴线段BF的长为方程x²+2ax=4的一个根.

例题 已知$P= \frac {7}{15}m-1,Q= m^{2}-\frac {8}{15}m$(m为任意实数),比较大小：P＜Q。(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＜

变式1【二次项系数不为1】「2023江苏无锡江南大学附中二模」已知$M= 2x^{2}-2x+3,N= 4x^{2}-3x+4$,请比较M和N的大小。

答案：
∵M=2x²-2x+3,N=4x²-3x+4,
∴M-N=(2x²-2x+3)-(4x²-3x+4)=2x²-2x+3-4x²+3x-4=-2x²+x-1=-2(x-1/4)²-7/8＜0,
∴M＜N.

变式2【单字母改为双字母】「2024北京十五中期中」试判断代数式$a^{2}+2b^{2}+11与2ab+2a+4b$的大小,并说明理由。

答案： a²+2b²+11＞2ab+2a+4b.理由如下:
∵(a²+2b²+11)-(2ab+2a+4b)=a²+2b²+11-2ab-2a-4b=[(a²-2ab+b²)+(-2a+2b)+1]+(b²-6b+9)+1=[(a-b)²-2(a-b)+1]+(b-3)²+1=(a-b-1)²+(b-3)²+1＞0,
∴a²+2b²+11＞2ab+2a+4b.