《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.「2025上海浦东新区校级期中」下列命题中,是假命题的是(A)
A.各有一个角是$45^{\circ }$的两个等腰三角形是相似三角形
B.各有一个角是$60^{\circ }$的两个等腰三角形是相似三角形
C.各有一个角是$105^{\circ }$的两个等腰三角形是相似三角形
D.两个等腰直角三角形是相似三角形

答案： A　A.三个角分别为45°,45°,90°的三角形与三个角分别为45°,67.5°,67.5°°的三角形不相似,故A符合题意;B.各有一个角是60°的两个等腰三角形都是等边三角形，它们是相似三角形，故B不符合题意;C.各有一个角是105°的两个等腰三角形是相似三角形，故C 不符合题意;D.两个等腰直角三角形是相似三角形 ,故D不符合题意.故选A.

2.「2024江苏泰州泰兴期中」如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,已知B,C在线段DE上,$∠DAE= 135^{\circ }$,且线段$BD= 9,CE= 4$,则BC的长为(B)

A.6
B.$6\sqrt {2}$
C.6.5
D.$6\sqrt {3}$

答案： B
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠CAE+∠E=45°,∠ABD=∠ACE=135°.
∵∠BAC=90°,∠DAE=135°,
∴∠DAB+∠CAE=45°,
∴∠DAB=∠E,
∴△DAB∽△AEC,
∴BD/AB=AC/EC,
∴AB·AC=BD·EC,
∵AB=AC,BD=9,CE=4,
∴AB²=9×4,
∴AB=6.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=√2AB=6√2.故选B.

3.新考向 「2025江苏宿迁沭阳期末」如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,在BC上求作一点D,使得$△DAB\backsim △ACB$(尺规作图),并写出$△DAB\backsim △ACB$的证明过程.

答案：
解析　如图,作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则点D即为所求.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵线段AB的垂直平分线交BC于点D,
∴AD=BD
∴∠B=∠BAD,
∴∠C=∠BAD,
又
∵∠B=∠B,
∴△DAB∽△ACB.

4.「2024山东德州中考,☆☆」如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },BD⊥AC$,垂足为D,AE平分$∠BAC$,分别交BD,BC于点F,E.若$AB:BC= 3:4$,则$BF:FD= $A
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$

答案： A
∵AB∶BC=3∶4,
∴设AB=3x,BC=4x,
∵∠ABC=90°,
∴AC=√(AB²+BC²)=5x,
∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠ABC=90°,又
∵∠BAD=∠CAB,
∴△ABD∽△ACB,
∴AB/AC=AD/AB,
∴3x/5x=AD/3x,
∴AD=9/5x,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAF=∠DAF,
∴∠AEB=∠AFD,
∵∠AFD=∠BFE,
∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF,
∵∠ABE=∠ADF=90°,∠BAE=∠DAF,
∴△ABE∽△ADF,
∴BE/DF=AB/AD,
∴BF/FD=AB/AD=3x/(9/5x)=5/3,故选A.

5.「2025江苏无锡新吴实验中学月考改编,☆☆」如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,$∠CAB= ∠ACB$,过点B作$BE⊥AB$交AC于点E.若$AB= 10,AC= 16$,则OE的长为9/2.

答案： 答案　9/2
解析
∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,
∴□ABCD是菱形,
∴OA=OC=1/2AC=8,AC⊥BD,
∴∠AOB=∠BOE=90°,
∴OB=√(AB² - OA²)=√(10² - 8²)=6,
∵BE⊥AB,
∴∠EBA=90°,
∴∠BEO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BEO=∠ABO,
∴△ABO∽△BEO,
∴OE/OB=OB/OA,即OE/6=6/8,
∴OE=9/2.

6.「2023江苏宿迁沭阳如东实验学校期末,☆☆」如图,AB,DE是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$∠ABC= 20^{\circ }$,点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转$α(0^{\circ }＜α＜180^{\circ })$,当$α=$____时,直径DE在$△ABC中截得的三角形与△ABC$相似.

答案：
答案　50°或70°或160°
解析
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°.①如图1,连接OC,当DE⊥AB时,△BOF∽△BCA,
∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=40°,
∴∠COD=∠AOD−∠AOC=90°−40°=50°,
∴α=50°;
②如图2,连接CO,当DE⊥BC时,△BOF∽△BAC,
此时∠COD=∠BOD=90°−20°=70°,
∴α=70°;
③如图3,连接CO,当DE⊥AC时,△AOF∽△ABC,
此时∠COE=∠AOE=∠ABC=20°,
∴∠COD=160°,
∴α=160°.
故答案为50°或70°或160°.

7.「2024江苏无锡中考,☆☆」如图,AB是$\odot O$的直径,$△ACD内接于\odot O,\widehat {CD}= \widehat {DB}$,AB,CD的延长线相交于点E,且$DE= AD$.
(1)求证：$△CAD\backsim △CEA$.
(2)求$∠ADC$的度数.

答案：
解析　
(1)证明:
∵$\widehat{CD}=\widehat{DB}$,
∴∠CAD=∠DAB,
∵DE=AD,
∴∠DAB=∠E,
∴∠CAD=∠E,又
∵∠C=∠C,
∴△CAD∽△CEA.
(2)连接BD,如图.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°.
设∠CAD=∠DAB=α,
∴∠CAE=2α,
由
(1)知△CAD∽△CEA,
∴∠ADC=∠CAE=2α.
∵四边形ABDC是圆的内接四边形,
∴∠CAB+∠CDB=180°,即2α+2α+90°=180°,解得α=22.5°,
∴∠ADC=2×22.5°=45°.