《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

3.[2024黑龙江牡丹江中考]如图,二次函数$y= 1/2x^2+bx+c$的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)点P是抛物线在第四象限内的任意一点,当△BCP的面积最大时,BC边上的高PN的值为______.

答案：
3.解析　
(1)把$(-1,0)$和$(0,-3)$代入$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx+c$，得$\begin{cases}\frac{1}{2}-b+c=0 \\ c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{5}{2} \\ c = -3\end{cases}$，
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$。
(2)令$y = 0$，则$0=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 6$，
∴点B的坐标为$(6,0)$，
∴$BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$。
设直线BC的解析式为$y = mx + n$，把$B(6,0)$，$C(0,-3)$代入，得$\begin{cases}6m + n = 0 \\ n = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = \frac{1}{2} \\ n = -3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=\frac{1}{2}x - 3$。
过点P作$PD⊥x$轴交BC于点D，如图，

设点P的坐标为$(a,\frac{1}{2}a^{2}-\frac{5}{2}a - 3)$，则点D的坐标为$(a,\frac{1}{2}a - 3)$，
∴$PD=\frac{1}{2}a - 3 - (\frac{1}{2}a^{2}-\frac{5}{2}a - 3)=-\frac{1}{2}a^{2}+3a$，
∴$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PD\cdot OB=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}a^{2}+3a)×6=-\frac{3}{2}(a - 3)^{2}+\frac{27}{2}$，
∴当$a = 3$时，$S_{\triangle PBC}$有最大值，最大值为$\frac{27}{2}$，
∴$PN=\frac{2×\frac{27}{2}}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，故答案为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$。

4.[2025山东济南莱芜期末]如图,抛物线$y= ax^2+bx+c$过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)设P是直线BC上方抛物线上一点,求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标.
(3)学科胡不归模型 若点M是线段OC上的一动点,连接AM,求AM+√2/2CM的最小值.

答案：
4.解析　
(1)
∵抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
∴抛物线的解析式为$y = a(x - 3)(x + 1)$，
把$C(0,3)$代入，得$3 = a(0 - 3)(0 + 1)$，解得$a = -1$，故抛物线的解析式为$y=-(x - 3)(x + 1)=-x^{2}+2x + 3$。
(2)设直线BC的解析式为$y = kx + n(k≠0)$，
将$B(3,0)$，$C(0,3)$代入，得$\begin{cases}3k + n = 0 \\ n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ n = 3\end{cases}$，
∴直线BC的解析式为$y=-x + 3$。
如图，连接PC，PB，过点P作y轴的平行线，交BC于Q，

设$P(m,-m^{2}+2m + 3)$，则$Q(m,-m + 3)$，
∴$PQ=-m^{2}+3m$，
∴$S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PCQ}+S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}PQ×(3 - 0)=-\frac{3}{2}(m - \frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$，
由此可得，当$m = \frac{3}{2}$时，$S_{\triangle PBC}$的最大值为$\frac{27}{8}$，
∵当$m = \frac{3}{2}$时，$-m^{2}+2m + 3=\frac{15}{4}$，
∴$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。
(3)
∵$B(3,0)$，$C(0,3)$，$∠COB = 90^{\circ}$，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴$∠OCB = 45^{\circ}$。
如图，过点M作$MH⊥BC$于点H，

易得△CMH为等腰直角三角形，
∴$MH=\frac{\sqrt{2}}{2}CM$，
∴$AM+\frac{\sqrt{2}}{2}CM = AM + MH$，
∵M为OC上的动点，
∴H为BC上的动点，
过点A作$AH'⊥BC$于$H'$，$AH'$交OC于$M'$，
当M在$M'$处，H在$H'$处时，$AM+\frac{\sqrt{2}}{2}CM$有最小值，为$AH'$的长。
∵$∠CBO = 45^{\circ}$，$∠AH'B = 90^{\circ}$，
∴△AH'B为等腰直角三角形，
∴$AH'=\frac{\sqrt{2}}{2}AB = 2\sqrt{2}$，即$AM+\frac{\sqrt{2}}{2}CM$的最小值为$2\sqrt{2}$。