《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1. 解方程：$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 8$。

答案： 1.解析 原方程可变形为$(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)=8$,设$x^{2}+5x=y$,则原方程可化为$(y+4)(y+6)=8$,整理得$y^{2}+10y+16=0$,解得$y_{1}=-2,y_{2}=-8$.①当$y=-2$时,$x^{2}+5x=-2$,即$x^{2}+5x+2=0$.对于$x^{2}+5x+2=0$,$\because b^{2}-4ac=25-8=17＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$.②当$y=-8$时,$x^{2}+5x=-8$,即$x^{2}+5x+8=0$.对于$x^{2}+5x+8=0$,$\because b^{2}-4ac=25-32=-7＜0$,$\therefore$方程无实数根.综上,原方程的解为$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{17}}{2}$.

2. 新阅读理解题 阅读下面的材料：
解方程$x^{4}-7x^{2}+12 = 0$,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常如下：设$x^{2}= y$,则$x^{4}= y^{2}$,∴ 原方程可化为$y^{2}-7y + 12 = 0$,解得$y_{1}= 3$,$y_{2}= 4$,当$y = 3$时,$x^{2}= 3$,∴$x= \pm\sqrt{3}$,当$y = 4$时,$x^{2}= 4$,∴$x= \pm2$。∴ 原方程的根是$x_{1}= \sqrt{3}$,$x_{2}= -\sqrt{3}$,$x_{3}= 2$,$x_{4}= -2$,此方法为换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法,解答下列问题。
(1)解方程：$(x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4 = 0$。
(2)已知实数$a$,$b满足(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-10 = 0$,试求$a^{2}+b^{2}$的值。

答案： 2.解析
(1)设$y=x^{2}+x$,则$y^{2}-5y+4=0$,因式分解,得$(y-1)(y-4)=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=4$,当$y=1$时,$x^{2}+x=1$,即$x^{2}+x-1=0$,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$;当$y=4$时,$x^{2}+x=4$,即$x^{2}+x-4=0$,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.综上所述,原方程的解为$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_{4}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
(2)设$x=a^{2}+b^{2}$,则$x^{2}-3x-10=0$,方程可变形为$(x-5)(x+2)=0$,解得$x_{1}=5,x_{2}=-2$(舍去),故$a^{2}+b^{2}=5$.

3. 解方程：$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1 = 0$。

答案： 3.解析 原方程可变形为$(x+\frac{1}{x})^{2}-2(x+\frac{1}{x})-3=0$.设$y=x+\frac{1}{x}$,则原方程可化为$y^{2}-2y-3=0$,$\therefore y_{1}=3$,$y_{2}=-1$.①当$y=3$时,$x+\frac{1}{x}=3$,即$x^{2}-3x+1=0$,对于$x^{2}-3x+1=0$,$\because b^{2}-4ac=9-4=5＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,经检验,$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解.②当$y=-1$时,$x+\frac{1}{x}=-1$,即$x^{2}+x+1=0$,对于$x^{2}+x+1=0$,$\because b^{2}-4ac=1-4=-3＜0$,$\therefore$方程无实数根.综上,原方程的解为$x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

4. 阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,求出$x$的值。
【问题】解方程：$x^{2}-6x-2\sqrt{x^{2}-6x}-8 = 0$。
【提示】可以用“换元法”解方程。
解：设$\sqrt{x^{2}-6x}= t(t\geq0)$,则有$x^{2}-6x = t^{2}$,
∴ 原方程可化为$t^{2}-2t-8 = 0$。
【续解】

答案： 4.解析 【续解】$\because (t+2)(t-4)=0$,$\therefore t+2=0$或$t-4=0$,$\therefore t_{1}=-2$(舍),$t_{2}=4$.当$t=4$时,$\sqrt{x^{2}-6x}=4$,则$x^{2}-6x=16$,配方得$(x-3)^{2}=25$,解得$x_{1}=8,x_{2}=-2$,经检验,$x_{1}=8$和$x_{2}=-2$都是原方程的解,$\therefore$原方程的解为$x_{1}=8,x_{2}=-2$.