《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

11.「2025江苏南京江宁高新中学月考」如图,若图形的面积为24,则图中x的值为4.

答案： 答案 4
解析 根据题意得(x + 1)² - 1² = 24，
∴(x + 1)² = 25，
∴x + 1 = ±5，解得x₁ = 4，x₂ = - 6(不合题意，舍去)，
∴题图中x的值为4。

12.对于实数p,q,我们用符号$max\{ p,q\}$表示p,q两数中较大的数,如$max\{ 1,2\} = 2$,若$max\{ (x-1)^{2},x^{2}+6x\} = 16$,则$x= $-3或2.

答案： 答案 - 3或2
解析 ①若(x - 1)² = 16，则x₁ = 5，x₂ = - 3。当x = 5时，x² + 6x = 5² + 6×5 = 55，
∵16＜55，
∴x = 5不符合题意；当x = - 3时，x² + 6x = ( - 3)² + 6×( - 3) = - 9，
∵16＞ - 9，
∴x = - 3符合题意。②若x² + 6x = 16，即x² + 6x - 16 = 0，则x₁ = - 8，x₂ = 2，当x = - 8时，(x - 1)² = ( - 8 - 1)² = 81，
∵81＞16，
∴x = - 8不符合题意；当x = 2时，(x - 1)² = (2 - 1)² = 1，
∵1＜16，
∴x = 2符合题意。综上，x = - 3或2。

13.(12分)用适当的方法解下列方程:
(1)$(3x-1)^{2}= (x+1)^{2}$.(2)$2x^{2}+x-\frac {1}{2}= 0$.

答案： 解析
(1)方程两边开方得3x - 1 = ±(x + 1)，
∴3x - 1 = x + 1或3x - 1 = - (x + 1)，
∴x₁ = 1，x₂ = 0。
(2)原方程可以变形为4x² + 2x - 1 = 0，
∴a = 4，b = 2，c = - 1，
∴b² - 4ac = 2² - 4×4×( - 1) = 20＞0，
∴x = $\frac{- 2 ± \sqrt{20}}{2×4}$，
∴x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$，x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{4}$。

14.「2025江苏苏州五校联考期中」(12分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m-1)x+m^{2}= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)设此方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,若$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 8-3x_{1}x_{2}$,求m的值.

答案： 解析
(1)
∵关于x的一元二次方程x² - 2(m - 1)x + m² = 0有实数根，
∴b² - 4ac = [ - 2(m - 1)]² - 4m² = 4 - 8m≥0，解得m≤$\frac{1}{2}$。
(2)
∵关于x的一元二次方程x² - 2(m - 1)x + m² = 0的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁ + x₂ = 2m - 2，x₁·x₂ = m²，
∵x₁² + x₂² = 8 - 3x₁x₂，
∴(x₁ + x₂)² - 2x₁·x₂ = 8 - 3x₁x₂，即(2m - 2)² - 2m² = 8 - 3m²，整理得5m² - 8m - 4 = 0，解得m₁ = - $\frac{2}{5}$，m₂ = 2，由
(1)得m≤$\frac{1}{2}$，
∴m的值为 - $\frac{2}{5}$。

15.「2025江苏无锡新吴期中」(14分)公安交警部门提醒市民,安全出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为多少?

答案： 解析
(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意，得150(1 + x)² = 216，解得x₁ = 0.2 = 20%，x₂ = - 2.2(不合题意，舍去)。答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%。
(2)设该品牌头盔的实际售价定为y元/个，依题意，得(y - 30)[600 - 10(y - 40)] = 10000，整理，得y² - 130y + 4000 = 0，解得y₁ = 80(不合题意，舍去)，y₂ = 50。答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个。

16.(14分)在平面直角坐标系中,过原点O及点$A(0,2)$、$C(6,0)$作矩形OABC,$∠AOC$的平分线交AB于点D,点P从点O出发,以每秒$\sqrt {2}$个单位长度的速度沿射线OD移动,同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
(1)当点P移动到点D处时,求t的值.
(2)当t为何值时,$△PQB$为直角三角形?

答案：
解析
(1)
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC = ∠OAB = 90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOQ = 45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AO = AD = 2，
∴DO = 2$\sqrt{2}$，
∴t = $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 2。
(2)如图，作PG⊥OC于点G。要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB = 90°或∠PBQ = 90°两种情况。

在Rt△POG中，
∵∠POG = 45°，
∴∠OPG = 45°，
∵OP = $\sqrt{2}$t，
∴OG = PG = t，
∴点P的坐标为(t，t)，又
∵Q(2t，0)，B(6，2)，
∴根据勾股定理得PB² = (6 - t)² + (2 - t)²，BQ² = (6 - 2t)² + 2²，PQ² = (2t - t)² + t² = 2t²。
①若∠PQB = 90°，则有PB² = BQ² + PQ²，即(6 - t)² + (2 - t)² = (6 - 2t)² + 2² + 2t²，解得t = 2或0(舍去)。
②若∠PBQ = 90°，则有PQ² = PB² + BQ²，
∴2t² = (6 - t)² + (2 - t)² + (6 - 2t)² + 2²，解得t = 5 ± $\sqrt{5}$。
∴当t = 2或5 ± $\sqrt{5}$时，△PQB为直角三角形。