《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

1.「2024 江苏苏州昆山秀峰中学月考」若二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图像经过点(-1,0),(2,0)$,则关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0$的解为(A)
A.$x_{1}= -1,x_{2}= 2$
B.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= 1,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= -2$

答案： A
∵二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(−1,0),(2,0),
∴方程ax²+bx+c=0的解为x₁=−1,x₂=2.故选A.

2.「2024 江苏徐州中考」在平面直角坐标系中,将二次函数$y= (x-2023)(x-2024)+5$的图像向下平移5个单位长度,所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则$PQ=$1。

答案： 答案　1 解析　将二次函数y=(x−2023)(x−2024)+5的图像向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为y=(x−2023)(x−2024).令y=(x−2023)(x−2024)=0,则x−2023=0或x−2024=0,解得x=2023或x=2024,
∴PQ=2024−2023=1.

3.「2024 山东济宁中考」将抛物线$y= x^{2}-6x+12$向下平移k个单位长度。若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是k≥3。

答案： 答案　k≥3 解析　将抛物线y=x²−6x+12向下平移k个单位长度得y=x²−6x+12−k,
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，
∴b²−4ac≥0,
∴(−6)²−4×1×(12−k)≥0,解得k≥3.

4. 多解法「2024 江苏南京玄武期末」已知二次函数$y= 2(x-m)(x-m-4)$(m为常数)。
(1)求证：无论m为何值,该函数的图像与x轴必有两个公共点。
(2)若点$A(2,y_{1}),B(2m,y_{2})$在二次函数的图像上,且$y_{1}＞y_{2}$,则m的取值范围是____m＞1。

答案：
(1)[证法一]求解法:当y=0时,2(x−m)(x−m−4)=0,解得x₁=m,x₂=m+4,
∵m≠m+4,
∴方程有两个不相等的实数根，
∴无论m为何值,该函数的图像与x轴必有两个公共点. [证法二]根的判别式法:
∵y=2(x−m)(x−m−4),
∴y=2x²+(−4m−8)x+2m²+8m.当y=0时,2x²+(−4m−8)x+2m²+8m=0,
∴b²−4ac=(−4m−8)²−4×2×(2m²+8m)=64＞0,
∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴无论m为何值，该函数的图像与x轴必有两个公共点
(2)把A(2,y₁),B(2m,y₂)分别代入y=2(x−m)(x−m−4)得y₁=2(2−m)(2−m−4),y₂=2(2m−m)(2m−m−4)=2m(m−4),
∵y₁＞y₂,
∴2(2−m)(2−m−4)＞2m(m−4),解得m＞1.

5.「2025 江苏苏州中学月考」已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的变量x,y的部分对应值如表：
|x|…|-3|-2|-1|0|1|…|
|y|…|-11|-5|-1|1|1|…|
根据表中信息,可得一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$的一个近似根x的取值范围是(C)
A.$-3＜x＜-2$
B.$-2＜x＜-1$
C.$-1＜x＜0$
D.$0＜x＜1$

答案： C
∵当x=−1时,y=−1,当x=0时,y=1,
∴方程的一个近似根x的取值范围是−1＜x＜0,故选C.

6.「2025 浙江宁波镇海期中,」如图所示的是二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图像,则不等式$ax^{2}+bx+c＜3$的解集是(D)
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1或x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0或x＞2$

答案： D　由题图可知二次函数y=ax²+bx+c的图像的对称轴为直线x=1,与y轴的交点坐标为(0,3),由二次函数图像的对称性可知,点(2,3)也在函数y=ax²+bx+c的图像上,结合题图可知,当x＜0或x＞2时，对应的y值小于3,因此ax²+bx+c＜3的解集为x＜0或x＞2.故选D.

7.「2024 山东泰安中考,」如图所示的是二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$的部分图像,该函数图像的对称轴是直线$x= 1$,图像与y轴交点的纵坐标是2。有下列结论：①$2a+b= 0$；②方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有一个根在-2和-1之间；③方程$ax^{2}+bx+c-\frac {3}{2}= 0$一定有两个不相等的实数根；④$b-a＜2$。其中,正确结论有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴−$\frac{b}{2a}$=1,
∴b=−2a,
∴2a+b=0,故①正确;
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点在2和3之间,
∴与x轴的另一个交点在−1和0之间,
∴方程ax²+bx+c=0一定有一个根在−1和0之间,故②错误;
∵抛物线y=ax²+bx+c与直线y=$\frac{3}{2}$有两个交点，
∴方程ax²+bx+c−$\frac{3}{2}$=0一定有两个不相等的实数根,故③正确;
∵抛物线与x轴的另一个交点在−1和0之间,
∴a−b+c＜0.图像与y轴交点的纵坐标是2,
∴c=2,
∴a−b+2＜0,
∴b−a＞2,故④错误.故选B.

8. 多解法 数形结合思想「2025 江苏南通海安月考,」已知抛物线$y= (x-x_{1})(x-x_{2})+1(x_{1}＜x_{2})$,抛物线与x轴交于$(m,0),(n,0)两点(m＜n)$,则m,n,$x_{1}$,$x_{2}$的大小关系是(A)
A.$x_{1}＜m＜n＜x_{2}$
B.$m＜x_{1}＜x_{2}＜n$
C.$m＜x_{1}＜n＜x_{2}$
D.$x_{1}＜m＜x_{2}＜n$

答案： A　[解法一]设y'=(x−x₁)(x−x₂),则x₁、x₂是函数y'和x轴的交点的横坐标. 令y=(x−x₁)(x−x₂)+1=0,即(x−x₁)(x−x₂)=−1. 而y=(x−x₁)(x−x₂)+1=y'+1,即函数y'向上平移1个单位得到函数y,则两个函数的图像如图所示(省略y 轴). 从图像看,x₁＜m＜n＜x₂,故选A. [解法二]m,n(m＜n)可看作二次函数y'=(x−x₁)(x−x₂)和y=−1的两个交点的横坐标,作示意图(图略) 可得x₁＜m＜n＜x₂,故选A.