《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

8.新分类讨论思想「2024江苏扬州广陵月考,★☆」在同一平面内,点P到圆上的点的最大距离为6,最小距离为4,则此圆的半径为(D)
A.2
B.5
C.1
D.5或1

答案： D　设圆的半径为r,当点P在圆外时,r=$\frac{6−4}{2}$=1;当点P在圆内时,r=$\frac{6+4}{2}$=5.　综上,圆的半径为1或5.故选D.

9.「2024浙江金华东阳期末,★☆」在等腰三角形ABC中,AB= AC,点D是AC的中点,若以AB为直径作⊙O,则下列判断正确的是( )

A.点C一定在⊙O外
B.点C一定在⊙O上
C.点D一定在⊙O外
D.点D一定在⊙O上

答案：
A　因为AB为⊙O的直径,直径为最长的弦,AB=AC,所以点C一定在⊙O外,如图①②③,点D的情况有三种，点D可能在⊙O内,可能在⊙O上,也可能在⊙O外.故选A.　　

10.「2025江苏苏州五校联考期中,★☆」如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM,若⊙O的半径为4,OP= 8,则线段OM长的最小值是( )


A.2
B.3
C.4
D.5

答案：
A　设OP与⊙O交于点N,连接MN,OQ,如图.　　　　　　　　
∵OP=8,ON=4,
∴N是OP的中点.又
∵M是PQ的中点,
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{1}{2}$× 4=2,
∴点M在以N为圆心,2为半径的圆上.易知当点M在ON上时,OM最小,最小值为2,
∴线段OM 长的最小值为2.故选A.

11.「★☆」如图,已知A,B是线段MN上的两点,MN= 4,MA= 1,MB＞1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB= x.若以点B为圆心,1.6为半径作⊙B,使点M和点N都在⊙B外,则x的取值范围是(D)

A.1＜x＜2
B.0.6＜x＜1.6
C.1＜x＜1.6
D.1＜x＜1.4

答案： D
∵MN=4,MA=1,AB=x,
∴BN=4−1−x=3−x.
∵以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M,N两点重合成一点C,构成△ABC,
∴AC=AM=1,BC=BN=3−x.
∴1+3−x＞x,1+x＞3−x,
∴1＜x＜2.
∵以点B为圆心,1.6为半径作⊙B,使点M 和点N都在⊙B外,
∴1+x＞1.6且3−x＞1.6,
∴0.6＜x＜1.4,
∴x的取值范围是1＜x＜1.4.故选D.

12.「2025江苏无锡江阴高新实验中学月考,★☆」如图,△ABC中,AC= BC,CD是△ABC的高,AB= 8,CD= 3,则BC= ______；若以点C为圆心,2为半径作⊙C,点E是⊙C上一动点,连接AE,点F是AE的中点,则线段DF长度的最小值是______.

答案：
5;$\frac{3}{2}$　解析
∵AC=BC,CD是△ABC的高,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4,CD⊥AB,
∴BC=$\sqrt{BD^2+CD^2}$=5.　如图,连接BE,CE,　　　　　　　　
∵点F是AE的中点，点D是AB的中点,
∴DF是△AEB的中位线,
∴DF=$\frac{1}{2}$BE,易知当E、C、B三点共线,且E点在线段BC上时,线段BE的长最小,此时线段DF的长最小，
∵BE的最小值=BC−CE=5−2=3,
∴线段DF长度的最小值为$\frac{3}{2}$

13.「2025江苏盐城阜宁实验中学月考,★☆」设⊙O的半径为2,点P到圆心的距离OP= m,且m使关于x的方程$2x^2-2√{2}x+m-1= 0$有两个不相等的实数根,试确定点P与⊙O的位置关系.

答案： 解析　由题意可知$(-2\sqrt{2})^2$−4×2×(m−1)＞0,解得m＜2,又
∵⊙O的半径为2,
∴点P在⊙O内

14.新几何直观「2025江苏盐城阜宁实验中学月考,★☆」如图,在平面直角坐标系中,直线y= -x与双曲线y= kx(k≠0)交于A、B两点,P是以点C(2,2)为圆心,1为半径的圆上的动点,连接AP,Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2,求k的值.

答案： 解析　连接BP(图略),由题意可知,OQ是△ABP的中位线,所以OQ=$\frac{1}{2}$BP,当B、C、P三点共线,且点C 在线段BP上时,PB的长有最大值，因为OQ的最大值为2,所以BP的最大值为4,此时BC=BP−PC=4−1=3,设点B(m,−m),则$(2−m)^2$+[2−(−m)]^2=3^2,所以m^2=$\frac{1}{2}$,因为点B(m,−m)在双曲线y=$\frac{k}{x}$(k≠0)上,所以k=−m^2=−$\frac{1}{2}$.