《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

8. [2023 山东烟台中考]如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为 $P_1$,停在空白部分的概率为 $P_2$,则 $P_1$ 与 $P_2$ 的大小关系为 ( )


A.$P_1 ＜ P_2$
B.$P_1 = P_2$
C.$P_1 ＞ P_2$
D.无法判断

答案：
【解法一】如图1,设正方形的边长为2a,则空白部分的面积为$2×\frac{1}{4}×\pi\cdot a^{2}+2\left(a^{2}-\frac{1}{4}×\pi\cdot a^{2}\right)=\frac{1}{2}\pi a^{2}+2a^{2}-\frac{1}{2}\pi a^{2}=2a^{2}$,则阴影部分的面积为$(2a)^{2}-2a^{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2}$,所以小球停在阴影部分的概率=停在空白部分的概率,即$P_{1}=P_{2}$.故选B.

【解法二】如图2,阴影部分的弓形面积=空白部分的弓形面积,则阴影部分的面积=空白部分的面积,所以小球停在阴影部分的概率=停在空白部分的概率,即$P_{1}=P_{2}$.故选B.

9. [2025 江苏扬州邗江梅苑双语学校期中]如图,$Rt\triangle ABC$ 是一块草坪,其中 $∠C = 90^{\circ}$,$BC = 12m$,$AB = 15m$,阴影部分是 $\triangle ABC$ 的内切圆,一只自由飞翔的小鸟随机落在这块草坪上,则小鸟落在阴影部分的概率为______.

$\frac{\pi}{6}$

答案： 答案 $\frac{\pi}{6}$
解析
∵$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 12\ \text{m}$,$AB = 15\ \text{m}$,
∴$AC=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9(\text{m})$,
∴$\triangle ABC$的内切圆半径$=\frac{12 + 9 - 15}{2}=3(\text{m})$,
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×9×12=54(\text{m}^{2})$,$S_{阴影}=\pi\cdot3^{2}=9\pi(\text{m}^{2})$,
∴小鸟落在阴影部分的概率为$\frac{9\pi}{54}=\frac{\pi}{6}$.

10. [2023 云南文山州期末]让书香浸润人生,让阅读成为习惯,2023 年 4 月 21 日晚,文山州“深化全民阅读·畅享书香文山”2023 年全民阅读大会在文山市民族文化中心举行.文山州某书店借此机会为了吸引更多阅读爱好者,特设立了一个可以自由转动的转盘(如图,转盘被平均分成 12 份),并规定:顾客每购买 100 元的图书,就可获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域(若指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向某一扇形区域为止),那么顾客就可以分别获得 50 元、30 元、20 元的购书券,凭购书券可以在书店继续购书.
(1) 甲顾客购书花费 120 元,可转动一次转盘,求他获得 50 元购书券的概率.
(2) 乙顾客购书花费 360 元,可获得______3______次转动转盘的机会,求任意转动一次转盘,获得购书券的概率.

(1)∵转盘被平均分成12份,其中红色区域占2份,∴他获得50元购书券的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
(2)∵顾客每购买100元的图书,就可获得一次转动转盘的机会,∴顾客购书360元,可获得3次转动转盘的机会.∵转盘被平均分成12份,其中红色区域占2份,黄色区域占2份,绿色区域占2份,∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是$\frac{2 + 2 + 2}{12}=\frac{1}{2}$.

答案：
(1)
∵转盘被平均分成12份,其中红色区域占2份,
∴他获得50元购书券的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
(2)3
∵顾客每购买100元的图书,就可获得一次转动转盘的机会,
∴顾客购书360元,可获得3次转动转盘的机会.
∵转盘被平均分成12份,其中红色区域占2份,黄色区域占2份,绿色区域占2份,
∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是$\frac{2 + 2 + 2}{12}=\frac{1}{2}$.

11. 斐波那契螺旋线,也称“黄金螺旋线”,是根据斐波那契数列 1,1,2,3,5,…画出来的螺旋曲线.如图,白色小圆内切于边长为 1 的正方形,在以 1,2,3,5 为边长的正方形中分别画一个圆心角为 $90^{\circ}$ 的扇形,将其圆弧连接起来即可得到斐波那契螺旋线.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是多少?

答案： 根据已知可得矩形ABCD的长为8,宽为5,则$S_{矩形ABCD}=8×5 = 40$,阴影部分的面积为$\left(1-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{4}+\frac{9\pi}{4}+\frac{25\pi}{4}=\frac{19\pi}{2}+1$,则在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率是$\frac{\frac{19\pi}{2}+1}{40}=\frac{19\pi + 2}{80}$.