《2025年5年中考3年模拟九年级数学全一册苏科版》

11. [2025 广东深圳福田月考,★☆]函数 $ y = a x ^ { 2 } - a $ 与 $ y = a x - a ( a \neq 0 ) $ 在同一坐标系中的图像可能是 (D)

答案： D　①当a＞0时,二次函数y=ax²−a的图像开口向上,对称轴为y轴，顶点在y轴负半轴上，一次函数y=ax−a的图像经过第一、三、四象限,且两个函数的图像都经过点(0,−a);②当a＜0时,二次函数y=ax²−a的图像开口向下,对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴上,一次函数y=ax−a的图像经过第一、二、四象限,且两个函数的图像都经过点(0,−a).故选D.

12. [2025 山东淄博博山六中期中,★☆]已知二次函数 $ y = - ( x - h ) ^ { 2 } $( $ h $ 为常数),当自变量 $ x $ 的值满足 $ 2 \leqslant x \leqslant 5 $ 时,与其对应的函数值 $ y $ 的最大值为 $ - 1 $,则 $ h $ 的值为 (B)
A.3 或 6
B.1 或 6
C.1 或 3
D.4 或 6

答案： B　当h＜2时,有−(2−h)²=−1,
解得h=1或h=3(舍去);
当2≤h≤5时,y=−(x−h)²的最大值为0,不符合题意;
当h＞5时,有−(5−h)²=−1,
解得h=4(舍去)或h=6.
综上所述,h的值为1或6.
故选B.

13. [2024 安徽合肥四十七中期中,★☆]对于二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - 3 $,当 $ - 1 \leqslant x \leqslant 2 $ 时, $ y $ 的取值范围是 ______−3≤y≤5.

答案： 答案　−3≤y≤5
解析
∵二次函数的解析式为y=2x²−3,
∴抛物线的对称轴为直线x=0,
∵a=2＞0,
∴抛物线开口向上,
∵−1≤x≤2,
∴当x=0时,y取得最小值−3,
∵当x=−1时,y=−1,当x=2时,y=5,
∴当−1≤x≤2时,y的取值范围是−3≤y≤5.

14. [2025 江苏南通通州育才中学月考改编,★☆]已知抛物线 $ y = ( x - 1 ) ^ { 2 } $ 经过点 $ A ( n, y _ { 1 } ) $, $ B ( n + 2, y _ { 2 } ) $,若 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,则 $ n $ 的取值范围为 ______n＞0.

答案： 答案　n＞0
解析　[解法一]作差法(代数法):
∵点A(n,y₁),B(n+2,y₂)在抛物线y=(x−1)²上,
∴y₁=(n−1)²,y₂=(n+2−1)²,
若y₁＜y₂,则有y₂−y₁＞0,
即(n+2−1)²−(n−1)²＞0,解得n＞0.
[解法二]增减性法(几何法):由条件可知:当x＜1 时,y随x的增大而减小,当x＞1时,y随x的增大而增大,
∴当n＜n+2＜1时,y₁＞y₂,不符合题意;
当1＜n＜n+2时,y₁＜y₂,符合题意;
当n＜1＜n+2时,若y₁＜y₂,则点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴1−n＜n+2−1,解得n＞0.
综上,n的取值范围为n＞0.

15. [2025 江苏南京期末,★☆]如图,点 $ A $, $ B $ 和点 $ C $, $ D $ 分别在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 和 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - 4 $ 上. 若点 $ A $, $ C $ 的横坐标均为 $ - 2 $,点 $ B $, $ D $ 的横坐标均为 4,则线段 $ A C $, $ B D $ 与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ______.

答案：
答案　24
解析　如图,连接AB,CD.抛物线y=$\frac{1}{2}$x²−4可由抛物线y=$\frac{1}{2}$x²向下平移四个单位长度得到，由平移性质可知阴影部分的面积等于平行四边形ACDB的面积,
∴阴影部分面积=4×[4−(−2)]=24.

16. [2024 四川广元利州期中,★☆]已知抛物线 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1 $ 具有性质：该抛物线上任意一点到定点 $ F ( 0, 2 ) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离始终相等,如图,点 $ M $ 的坐标为 $ ( \sqrt { 3 }, 3 ) $, $ P $ 是抛物线 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1 $ 上一个动点,则 $ \triangle P M F $ 周长的最小值是 ______.

答案：
答案　5
解析　如图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1于点P,此时△PMF的周长值最小,
∵F(0,2),M($\sqrt{3}$,3),
∴　ME=3,FM=$\sqrt{(\sqrt{3}-0)^{2}+(3-2)^{2}}$=2,
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.

方法解读　　　　
线段和最短问题
(1)求线段和最小值的理论依据为两点之间，线段最短或垂线段最短.
(2)要转化为这两种情况需要两条线段在动点所在轨迹的异侧，则有三点共线时取线段和最小值.
(3)常借助轴对称性进行同侧化异侧(如将军饮马模型)，此时动点所在轨迹可看成“对称轴”

17. [★☆]如图,二次函数 $ y = ( x + 4 ) ^ { 2 } $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 求点 $ A $, $ B $ 的坐标.
(2) 求抛物线的对称轴.
(3) 在对称轴上是否存在一点 $ P $,使以 $ P $、 $ A $、 $ O $、 $ B $ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 解析　
(1)令y=0,则(x+4)²=0,解得x₁=x₂=−4,
∴A(−4,0).令x=0,则y=(0+4)²=16,
∴B(0,16).
(2)
∵y=(x+4)²,
∴图像的对称轴为直线x=−4,
(3)存在.
∵以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形,
∴AP=OB=16,当点P在点A的上方时,点P 的坐标为(−4,16);当点P在点A的下方时，点P的坐标为(−4,−16).综上所述,点P的坐标为(−4,16)或(−4,−16)时,以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形.

18. [2025 江苏苏州中学月考]如图,将二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 $ 位于 $ x $ 轴下方的图像沿 $ x $ 轴翻折,得到一个新函数的图像(图中的实线).

(1) 当 $ x = - 3 $ 时,新函数值为 5,当 $ x = 1 $ 时,新函数值为 3.
(2) 当 $ x = $−2或2时,新函数有最小值.
(3) 当新函数中 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时,自变量 $ x $ 的取值范围是 −2＜x＜0或x＞2.
(4) 若关于 $ x $ 的方程 $ | x ^ { 2 } - 4 | = a $ 有且只有两个解,则 $ a $ 的取值范围为 a＞4或a=0.

答案： 答案　
(1)5;3　
(2)−2或2　
(3)−2＜x＜0或x＞2
(4)a＞4或a=0
解析　
(1)把x=−3代入y=x²−4,得y=9−4=5,把x=1代入y=x²−4,得y=1−4=−3,
∴当x=−3时,新函数值为5,当x=1时,新函数值为3,
故答案为5;3.
(2)观察题图可得，
当x=−2或2时,新函数有最小值,为0,
故答案为−2或2.
(3)观察题图可得,
当新函数中y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是−2＜x＜0或x＞2,
故答案为−2＜x＜0或x＞2.
(4)
∵将二次函数y=x²−4位于x轴下方的图像沿x 轴翻折,
∴得到的新函数的解析式为y=|x²−4|.
∵关于x的方程|x²−4|=a有且只有两个解,即直线y=a与新函数图像有且只有两个公共点，
观察题图可得a的取值范围为a＞4或a=0,
故答案为a＞4或a=0.