《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. 传统文化《周髀算经》 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺,如图(1)所示)的使用之道,其中就有“环矩以为圆”的方法.我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述:如图(2)所示,在平面内固定两个钉子A,B,保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧,转动“矩”,则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆.依此描述,请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理:____.

答案：
圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合
[解析]如图，连接 $AB$，取 $AB$ 中点 $O$，
连接 $OC$。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore OC = \frac{1}{2}AB$，$\therefore$ 动点 $C$ 到 $O$ 的距离

是定值，$\therefore$ “矩”的顶点 $C$ 的运动路线
将会是一个圆，$\therefore$ 应用数学概念或定理
解释“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。

12. 如图,AB,CD是$\odot O$的两条弦,$∠AOB与∠C$互补,$∠COD与∠A$相等,则$∠AOB$的度数是$108^{\circ}$.

答案： $108^{\circ}$ [解析]设 $\angle AOB = x$，则 $\angle C = \angle D = 180^{\circ} - x$，
$\angle A = \angle B = \frac{1}{2}(180^{\circ} - x)$。$\therefore \angle COD = 180^{\circ} - 2\angle C =$
$2x - 180^{\circ}$，
$\because \angle COD = \angle A$，
$\therefore 2x - 180^{\circ} = \frac{1}{2}(180^{\circ} - x)$，解得 $x = 108^{\circ}$。

13. (2025·江苏南通海门区海南中学月考)如图,点O是同心圆的圆心,大圆半径OA,OB分别交小圆于点C,D,求证:$AB// CD$.

$\because OC = OD$，$\therefore \angle OCD = \angle ODC$，$\therefore \angle OCD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle O)$。$\because OA = OB$，$\therefore \angle OAB = \angle OBA$，$\therefore \angle OAB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle O)$，$\therefore \angle OCD = \angle OAB$，$\therefore AB // CD$。

答案： $\because OC = OD$，
$\therefore \angle OCD = \angle ODC$，$\therefore \angle OCD = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle O)$。
$\because OA = OB$，
$\therefore \angle OAB = \angle OBA$，$\therefore \angle OAB = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle O)$，
$\therefore \angle OCD = \angle OAB$，$\therefore AB // CD$。

14. 如图,CD是$\odot O$的直径,E是$\odot O$上一点,$∠EOD= 48^{\circ }$,A为DC延长线上一点,且$AB= OC$,求$∠A$的度数.

答案：
如图，连接 $OB$。
$\because OB = OC$，$AB = OC$，
$\therefore AB = OB$，

$\therefore \angle AOB = \angle A$。
$\because \angle EBO = \angle A + \angle AOB =$
$2\angle A$，$OB = OE$，
$\therefore \angle E = \angle EBO = 2\angle A$。
$\because \angle A + \angle E = \angle EOD$，
$\therefore \angle A + 2\angle A = 48^{\circ}$，解得 $\angle A = 16^{\circ}$。

15. 分类讨论思想如图,直线AB经过$\odot O$的圆心,与$\odot O$相交于点A,B,点C在$\odot O$上,且$∠AOC= 30^{\circ }$,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与$\odot O$相交于点Q,问:点P在直线AB的什么位置上时,$QP= QO$?这样的点P共有几个?并相应地求出$∠OCP$的度数.

答案：
①如图
(1)，当点 $P$ 在线段 $OA$ 上时，
在 $\triangle OQC$ 中，$OC = OQ$，$\therefore \angle OQC = \angle OCQ$。
在 $\triangle OPQ$ 中，$QP = QO$，$\therefore \angle QPO = \angle QOP$。
等边对等角
设 $\angle OQP = \angle OCQ = x$。
$\because \angle QPO = \angle AOC + \angle OCQ = 30^{\circ} + x$，
$\therefore 30^{\circ} + x + 30^{\circ} + x + x = 180^{\circ}$，
三角形内角和定理
解得 $x = 40^{\circ}$，$\therefore \angle OCP = 40^{\circ}$；

②如图
(2)，当点 $P$ 在线段 $OA$ 的延长线上时，
$\because OC = OQ$，$\therefore \angle OQP = \frac{180^{\circ} - \angle QOC}{2}$ ①。
$\because OQ = PQ$，$\therefore \angle OPQ = \frac{180^{\circ} - \angle OQP}{2}$ ②。
在 $\triangle OQP$ 中，$30^{\circ} + \angle QOC + \angle OQP + \angle OPQ = 180^{\circ}$ ③。
把①②代入③，得 $\angle QOC = 20^{\circ}$，$\therefore \angle OQP = 80^{\circ}$。
$\therefore \angle OCP = 20^{\circ} + 80^{\circ} = 100^{\circ}$；
③如图
(3)，当点 $P$ 在线段 $OA$ 的反向延长线上时，

$\because OC = OQ$，$\therefore \angle OCP = \angle OQC = \frac{180^{\circ} - \angle COQ}{2}$ ①。
$\because OQ = PQ$，$\therefore \angle BPQ = \frac{180^{\circ} - \angle OQP}{2}$ ②。
$\because \angle AOC = 30^{\circ}$，$\therefore \angle COQ + \angle POQ = 150^{\circ}$ ③。
$\because \angle BPQ = \angle POQ$，$\therefore 2\angle BPQ = \angle OQC = \angle OCP$ ④。
联立①②③④，得 $\angle BPQ = 10^{\circ}$，$\therefore \angle OCP = 2\angle BPQ = 20^{\circ}$。
综上所述，这样的点 $P$ 有 $3$ 个，$\angle OCP$ 的度数分别为 $40^{\circ}$，$100^{\circ}$，$20^{\circ}$。