《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?

答案： 设每轮感染中平均一台电脑会感染$x$台电脑，则第一轮感染中有$x$台电脑被感染，第二轮感染中有$(1+x)x$台电脑被感染.
根据题意，得$1+x+(1+x)x=100$，整理，得$(1+x)^{2}=100$，则$x+1=10$或$x+1=-10$，
解得$x_{1}=9$，$x_{2}=-11$（不符合题意，舍去）.
故每轮感染中平均一台电脑会感染9台电脑.

2. (2024·马鞍山含山三模改编)俗语有云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的,根据“两天不练丢一半”,求每天“遗忘”的百分比.(参考数据:$\sqrt {2}\approx 1.414$)

答案： 设每天“遗忘”的百分比为$x$，根据题意，得$(1-x)^{2}=\frac{1}{2}$，
解得$x_{1}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$（不合题意，舍去），
$\because \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293$，$\therefore$每天“遗忘”的百分比约为$29.3 \%$.

3. 某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛,采用单循环赛制(参赛的每两个队之间都要比赛一场),根据场地和时间等条件,赛程计划5天完成,每天安排3场比赛.
(1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛?
(2)如果比计划多邀请2个队参赛,每天安排4场比赛,那么至少需要多少天完成比赛?

答案：
(1)设比赛组织者应计划邀请$x$个队参赛.
根据题意，得$\frac{1}{2} x(x-1)=3 \times 5$，整理，得$x^{2}-x-30=0$，
解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-5$（不符合题意，舍去）.
故比赛组织者应计划邀请6个队参赛.
(2)设需要$y$天完成比赛.
根据题意，得$4 y \geqslant \frac{1}{2} \times(6+2) \times(6+2-1)$，
解得$y \geqslant 7$，$\therefore y$的最小值为7.
故至少需要7天完成比赛.

4. (2025·重庆渝北区月考)春节期间,某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果,苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍,水蜜桃以每千克16元的价格出售,苹果以每千克20元的价格出售,当天两种水果均全部售出,水果店获利1800元.
(1)求水蜜桃的进价是每千克多少元?
(2)第一批水蜜桃售完后,该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃,商家见第一批水果卖得很好,于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售,售出了8a千克,由于水蜜桃不易保存,第二天,水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元,到了晚上关店时,还剩20千克没有售出,店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们,结果这批水蜜桃的利润为2980元,求a的值.

答案：
(1)设水蜜桃的进价是每千克$x$元，则苹果的进价是每千克$1.2 x$元，
依题意，得$(16-x) \times 100+(20-1.2 x) \times 50=1800$，
解得$x=5$. 故水蜜桃的进价是每千克5元.
(2)由题意，得$17 \times 8 a+(16-0.1 a) \times(300-8 a-20)-5 \times 300=2980$，整理，得$0.8 a^{2}-20 a=0$，
解得$a_{1}=25$，$a_{2}=0$（不合题意，舍去）. 故$a$的值是25.