《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·河南洛阳老城区期中)若一元二次方程$x^{2}-4x+3= 0经过配方变形为(x-2)^{2}= k$,则$k$的值是(C).
A. $-3$
B. $-7$
C. $1$
D. $7$

答案： C

2. 用配方法解方程$x^{2}-6x-1= 0$时,配方后正确的是(C).
A. $(x+3)^{2}= 8$
B. $(x+2)^{2}= 37$
C. $(x-3)^{2}= 10$
D. $(x-2)^{2}= 37$

答案： C

3. 用配方法解一元二次方程$3x^{2}+6x-1= 0$时,将它化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a+b$的值为(B).
A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{7}{3}$
C. $2$
D. $\frac{4}{3}$

答案： B [解析]
∵$3x^{2}+6x - 1 = 0$，
∴$3x^{2}+6x = 1$，
∴$x^{2}+2x=\frac{1}{3}$，则$x^{2}+2x + 1=\frac{1}{3}+1$，即$(x + 1)^{2}=\frac{4}{3}$，
∴$a = 1$，$b=\frac{4}{3}$，
∴$a + b=\frac{7}{3}$，故选B。
名师点评 配方法的理论依据是公式$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$，本题可利用完全平方公式的结构特征解答，并不需要拘泥于配方法解一元二次方程的一般步骤。

4. (2025·山西运城盐湖区期中)小兵同学解关于$x的一元二次方程x^{2}-8x= 5$时,先在方程的两边加上$16$,把方程变形为$(x-4)^{2}= 21$,他这种解一元二次方程的方法是配方法.

答案： 配方

5. (2025·河南平顶山九中教育集团期中)用配方法解方程$x^{2}-4x-3= 0$,配方得$(x+m)^{2}= 7$,常数$m$的值是______-2.

答案： -2 [解析]方程$x^{2}-4x - 3 = 0$，移项，得$x^{2}-4x = 3$，配方，得$x^{2}-4x + 4 = 3 + 4$，
∴$(x - 2)^{2}=7$，
∴$m = - 2$。

6. (教材P7例1·变式)用配方法解下列方程:
(1)(2024·徐州中考)$x^{2}+2x-1= 0$;
移项，得$x^{2}+2x = 1$，配方，得$x^{2}+2x + 1 = 1 + 1$，即$(x + 1)^{2}=2$，直接开平方，得$x + 1=\pm\sqrt{2}$，∴$x_{1}=\sqrt{2}-1$，$x_{2}=-\sqrt{2}-1$。
(2)$(2x+1)^{2}-2(2x+1)+1= 4$.
∵$(2x + 1)^{2}-2(2x + 1)+1 = 4$，∴$(2x + 1 - 1)^{2}=4$，∴$4x^{2}=4$，∴$x^{2}=1$，∴$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
知识拓展 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①原方程化为$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

答案：
(1)移项，得$x^{2}+2x = 1$，配方，得$x^{2}+2x + 1 = 1 + 1$，即$(x + 1)^{2}=2$，直接开平方，得$x + 1=\pm\sqrt{2}$，
∴$x_{1}=\sqrt{2}-1$，$x_{2}=-\sqrt{2}-1$。
(2)
∵$(2x + 1)^{2}-2(2x + 1)+1 = 4$，
∴$(2x + 1 - 1)^{2}=4$，
∴$4x^{2}=4$，
∴$x^{2}=1$，
∴$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$。
知识拓展 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①原方程化为$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

7. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+6x+c= 0$配方后得到方程$(x+3)^{2}= 2c$,则$c$的值为(3).
A. $-3$
B. $0$
C. $3$
D. $9$

答案： C [解析]
∵$x^{2}+6x + c = 0$，
∴$x^{2}+6x=-c$，
∴$x^{2}+6x + 9=-c + 9$，即$(x + 3)^{2}=-c + 9$。
∵$(x + 3)^{2}=2c$，
∴$2c=-c + 9$，解得$c = 3$，故选C。

8. (2024·东营中考)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a^{b}$的值为(D).
A. $-2024$
B. $2024$
C. $-1$
D. $1$

答案： D [解析]由题知，$x^{2}-2x = 2023$，$x^{2}-2x + 1 = 2023 + 1$，$(x - 1)^{2}=2024$，所以$a=-1$，$b = 2024$，所以$a^{b}=(-1)^{2024}=1$，故选D。

9. (2025·江苏无锡经开区期中)若一元二次方程$x^{2}-4100625= 0$的两根为$x_{1}= 2025$,$x_{2}= -2025$,则方程$x^{2}-4x-4100621= 0$的两根为$x_{1}=2027$，$x_{2}=-2023$.

答案： $x_{1}=2027$，$x_{2}=-2023$ [解析]$x^{2}-4x - 4100621 = 0$，移项，得$x^{2}-4x = 4100621$，配方，得$x^{2}-4x + 4 = 4100625$，
∴$(x - 2)^{2}=4100625$，
∴$x - 2=\pm2025$，
∴$x_{1}=2027$，$x_{2}=-2023$。

10. 阅读并回答问题:$x^{2}= -1$在实数范围内无解,如果存在一个数$\mathrm{i}$,使$\mathrm{i}^{2}= -1$,那么当$x^{2}= -1$时,有$x= \pm \mathrm{i}$,从而$x= \pm \mathrm{i}是方程x^{2}= -1$的两个根. 据此可知$\mathrm{i}$可以运算,例如:$\mathrm{i}^{3}= \mathrm{i}^{2} × \mathrm{i}= -1 × \mathrm{i}= -\mathrm{i}$,则方程$x^{2}-2x+2= 0$的两根为______$x_{1}=1 + i$，$x_{2}=1 - i$.(根用$\mathrm{i}$表示)

答案： $x_{1}=1 + i$，$x_{2}=1 - i$ [解析]方程整理，得$x^{2}-2x=-2$，配方，得$x^{2}-2x + 1=-1$，即$(x - 1)^{2}=-1$，开方，得$x - 1=\pm i$，解得$x_{1}=1 + i$，$x_{2}=1 - i$。

11. 中考新考法 证明代数结论 用配方法证明:
(1)无论$x$为任何实数,代数式$-x^{2}+6x-10$的值恒小于零;
(2)(2025·甘肃白银期中)用配方法求证:代数式$4x^{2}-8x+9$的值恒为正数.

答案：
(1)$-x^{2}+6x - 10=-(x^{2}-6x)-10=-(x^{2}-6x + 9)-1=-(x - 3)^{2}-1$，
∵$(x - 3)^{2}\geq0$，
∴$-(x - 3)^{2}\leq0$，
∴$-(x - 3)^{2}-1\lt0$，
∴无论$x$为任何实数，代数式$-x^{2}+6x - 10$的值恒小于零。
(2)将原式进行配方，得原式$=(4x^{2}-8x + 4)+5=4(x^{2}-2x + 1)+5=4(x - 1)^{2}+5$。
∵$4(x - 1)^{2}\geq0$，
∴$4(x - 1)^{2}+5\geq5$，
∴代数式$4x^{2}-8x + 9$的值恒为正数。
易错警示 本题利用配方法和非负数的性质解题，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值。